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math:2:somme_lois_usuelles_densite

Somme de deux lois usuelles à densité indépendantes

Exemples

    1. Soit $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi $\mathcal{U}([0,1])$. On pose $Y=X_{1}+X_{2}$.
      1. Montrer que $Y$ est une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité $g$.
      2. Préciser sa répartition $G$.
    2. Soit $X_{3}$ une variable aléatoire de loi $\mathcal{U}([0,1])$ indépendante de $Y$. On pose $Z=Y+X_{3}$.
      1. Montrer que $Z$ est une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité $h$.
      2. Préciser sa répartition $H$.
    3. Déterminer la loi de $2X_{1}+X_{2}-1$.
  1. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $X\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)$ et $Y\hookrightarrow\mathcal{E}(\mu)$ où $\lambda>0$ et $\mu>0$.
    1. Déterminer une densité de $X+Y$.
    2. Déterminer une densité de $X-Y$.

Théorème : Théorème de stabilité par somme

Soit $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires indépendantes.

  • Soit $\nu_1$ et $\nu_2$ deux réels tels que : $\nu_1>0$ et $\nu_2>0$.
    Si $X_{1}\hookrightarrow\gamma(\nu_{1})$ et $X_{2}\hookrightarrow\gamma(\nu_{2})$ alors :
    $$\ds X_{1}+X_{2}\hookrightarrow\gamma(\nu_{1}+\nu_{2})$$
  • Soit $m_1$, $m_2$, $\sigma_1$ et $\sigma_2$ quatre réels tels que : $\sigma_1>0$ et $\sigma_2>0$.
    Si $X_{1}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{1},\sigma_{1}^{2})$ et $X_{2}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{2},\sigma_{2}^{2})$ alors :
    $$\ds X_{1}+X_{2}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{1}+m_{1},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})$$

Exemples

  1. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $X\hookrightarrow\mathcal{E}(1)$ et $Y\hookrightarrow\mathcal{E}(1)$. Quelle est la loi de $X+Y$ ?
  2. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $X\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)$ et $Y\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)$. Quelle est la loi de $X+Y$ ?
  3. Pour $i\in\llbracket1,2\rrbracket$, $X_{i}$ est une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{N}(m_{i},\sigma_{i}^{2})$ où $\sigma_{i}>0$. On suppose que $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes. Quelle est la loi de $a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}$ où $(a_{1},a_{2})\in\R^{2}$ ?
math/2/somme_lois_usuelles_densite.txt · Dernière modification: 2020/05/10 21:19 (modification externe)