Soit $X_1\hookrightarrow\gamma(\nu_1)$ et $X_2\hookrightarrow\gamma(\nu_2)$ indépendantes de densités $f_1$ et $f_2$. Comme $(X_1+X_2)(\Omega)=\left]0,+\infty\right[$ presque sûrement, il est immédiat que $f_{X_{1}+X_{2}}(x)=0$ pour tout $x\leqslant0$. De plus, pour tout réel $x>0$, sous réserve de convergence, on a :
$$\begin{array}{rcl}f_{X_{1}+X_{2}}(x) & = & \ds\int_{-\infty}^{+\infty}{f_{X_{1}}(t)f_{X_{2}}(x-t)\mathrm d t}=\frac{1}{\Gamma(\nu_{1})\Gamma(\nu_{2})}\mathrm{e}^{-x}\int_{0}^{x}{t^{\nu_{1}-1}(x-t)^{\nu_{2}-1}\mathrm d t} \\ & = & \ds\frac{x^{\nu_{1}-1}x^{\nu_{2}-1}x\mathrm{e}^{-x}}{\Gamma(\nu_{1})\Gamma(\nu_{2})}\int_{0}^{1}{u^{\nu_{1}-1}(1-u)^{\nu_{2}-1}\mathrm d u}=\frac{x^{\nu_{1}+\nu_{1}-1}\mathrm{e}^{-x}}{\Gamma(\nu_{1})\Gamma(\nu_{2})}\int_{0}^{1}{u^{\nu_{1}-1}(1-u)^{\nu_{2}-1}\mathrm d u}\end{array}$$ et l'intégrale est convergente par théorème de comparaison avec des intégrales de Riemann puisque $\nu_1>0$ et $\nu_2>0$. Alors, $f_{X_1+X_2}$ est définie sur $\R$ et continue sur $\R^*$ donc est bien une densité de probabilité. On en reconnait la forme d'une densité de la loi $\gamma(\nu_1+\nu_2)$ donc on a nécessairement que :
$$\ds\int_{0}^{1}{u^{\nu_{1}-1}(1-u)^{\nu_{2}-1}\mathrm d u}=\frac{\Gamma(\nu_{1})\Gamma(\nu_{2})}{\Gamma(\nu_{1}+\nu_{2})}$$Ainsi $X_{1}+X_{2}\hookrightarrow\gamma(\nu_{1}+\nu_{2})$.

Soit $X_1\hookrightarrow\mathcal{N}(m_1,\sigma_1^2)$ et $X_2\hookrightarrow\mathcal{N}(m_2,\sigma_2^2)$ indépendantes de densités $f_1$ et $f_2$. On a alors : $(X_{1}+X_{2})(\Omega)=\R$.

Pour tout réel $x$, on a :
$$\begin{array}{rcl} f_{X_{1}+X_{2}}(x) & = & \ds\frac{1}{\sigma_{1}\sigma_{2}2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\exp\left(-\frac{(t-m_{1})^{2}}{2\sigma_{1}^{2}}-\frac{(x-t-m_{2})^{2}}{2\sigma_{2}^{2}}\right)\mathrm{d}t} \\ & = & \ds\frac{1}{\sigma_{1}\sigma_{2}2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\exp\left(-\frac{1}{2}(at^{2}-2bt+c)\right)\mathrm{d}t} \end{array}$$avec $\ds a=\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}^{2}}$, $\ds b=\frac{\sigma_{2}^{2}m_{1}+\sigma_{1}^{2}(x-m_{2})}{\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}^{2}}$ et $\ds c=\frac{\sigma_{2}^{2}m_{1}^{2}+\sigma_{1}^{2}(x-m_{2})^{2}}{\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}^{2}}$.

En remarquant que, puisque $a>0$, l'intégrale converge bien et, en posant aussi $\ds d=\frac{1}{2}\left(c-\frac{b^{2}}{a}\right)$, on obtient :
$$\begin{array}{rcl} \ds\int_{-\infty}^{+\infty}{\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}(at^{2}+2bt+c)}\mathrm{d}t} & = & \ds\int_{-\infty}^{+\infty}{\exp\left(-\frac{1}{2}a\left(t^{2}-2\frac{b}{a}t+\frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{c}{a}\right)\right)\mathrm{d}t} \\ & = & \ds\int_{-\infty}^{+\infty}{\exp\left(-\frac{1}{2}a\left(t-\frac{b}{a}\right)^{2}\right)\exp\left(-\frac{1}{2}a\left(\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{a^{2}}\right)\right)\mathrm{d}t} \\ & = & \ds\e^{-d}\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{a}}\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{\left(t-\frac{b}{a}\right)^{2}}{2\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2}}\right)\mathrm{d}t} \\ & = & \ds\mathrm{e}^{-d}\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{a}} \\ & = & \ds\sqrt{\frac{2\pi\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}}\exp\left(\frac{\sigma_{2}^{2}m_{1}^{2}+\sigma_{1}^{2}(x-m_{2})^{2}}{\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}^{2}}-\frac{\left(\sigma_{2}^{2}m_{1}+\sigma_{1}^{2}(x-m_{2})\right)^{2}}{\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}^{2}\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right)}\right) \\ & = & \ds\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{\frac{2\pi}{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}}\exp\left(\frac{\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}^{2}\left(m_{1}^{2}-2m_{1}(x-m_{2})+(x-m_{2})^{2}\right)}{\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}^{2}\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right)}\right) \\ & = & \ds\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{\frac{2\pi}{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}}\exp\left(\frac{\left(x-(m_{1}+m_{2})\right)^{2}}{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}\right) \end{array}$$d'où l'on déduit que :
$$\ds f_{X_{1}+X_{2}}(x)=\frac{1}{\sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{\left(x-(m_{1}+m_{2})\right)^{2}}{2\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right)}\right)$$Alors : $X_{1}+X_{2}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{1}+m_{1},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})$.