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math:2:esperance_variance_couples

Espérance et variance

Théorème : Linéarité de l'espérance (admis)

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité admettant une espérance. Alors, pour tout couple $(\lambda,\mu)$ de réels, la variable aléatoire $\lambda X+\mu Y$ admet une espérance et on a :
$$\ds\mathbb{E}(\lambda X+\mu Y)=\lambda\mathbb{E}(X)+\mu\mathbb{E}(Y)$$

Théorème : Positivité et croissance de l'espérance

  • Si $X$ est une variable aléatoire à densité admettant une espérance et telle que $X(\Omega)\subset\R^{+}$ p.s. alors $\mathbb{E}(X)\geqslant0$.
  • Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité admettant une espérance. Si $\mathbb{P}(X\leqslant Y)=1$ (c'est à dire que l'événement $[X\leqslant Y]$ se réalise presque sûrement) alors : $\mathbb{E}(X)\leqslant\mathbb{E}(Y)$.

Théorème : Existence de l'espérance par domination

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité telles que $\mathbb{P}(0\leqslant\left|X\right|\leqslant Y)=1$ (autrement dit : $\forall\omega\in\Omega,\;\left|X(\omega)\right|\leqslant Y(\omega)$ presque sûrement). Si $Y$ admet une espérance alors $X$ admet aussi une espérance et on a :
$$\ds \left|\mathbb{E}(X)\right|\leqslant\mathbb{E}(Y)$$

Théorème : Espérance du produit (admis)

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité indépendantes et admettant une espérance. Alors la variable aléatoire $XY$ admet une espérance et on a :
$$\ds\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$$

Théorème : Variance de la somme (admis)

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité indépendantes et admettant une variance. Alors la variable aléatoire $X+Y$ admet une variance et on a :
$$\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)$$

math/2/esperance_variance_couples.txt · Dernière modification: 2020/05/10 21:19 (modification externe)