math:2:projection_orthogonale
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Projections orthogonales
Définition
Soit $E$ un espace euclidien. On appelle projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel $F$, notée $p_{F}$, la projection sur $F$ parallèlement à $F^{\perp}$.
Exemples
- Soit $p$ un projecteur de $E$. Montrer que $p$ est un projecteur orthogonal si et seulement si $\text{Ker}(p)\perp\text{Im}(p)$.
- Dans $\R^{3}$ muni du produit scalaire canonique, on considère le plan $P$ d'équation $x+2y+3z=0$. Déterminer la matrice de la projection orthogonale sur $P$ dans la base canonique de $\R^{3}$.
<html><a name=“coordonnees_projete_orthogonal”></a></html>
Théorème : Coordonnées du projeté orthogonal
Soit $E$ un espace euclidien et $F$ un sous-espace de $E$.
- Soit $(\vv*{u}{1},\dots,\vv*{u}{m})$ une base orthonormale de $F$, sous-espace de $E$. Alors :
$$\ds\forall\vv{x}\in E,\; p_{F}(\vv{x})=\sum_{k=1}^{m}{\left\langle x,\vv*{u}{k}\right\rangle \vv*{u}{k}}$$ - Soit $\mathcal{B}=(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{n})$ une base orthonormale de $E$. On note $U_{1},\dots,U_{m}$ les colonnes de coordonnées des vecteurs $\vv*{u}{1},\dots,\vv*{u}{m}$ dans la base $\mathcal{B}$. Alors :
$$\ds\text{Mat}_{\mathcal{B}}(p_{F})=\sum_{i=1}^{m}{U_{i}{}^{t}U_{i}}$$
Exemple
On considère l'espace vectoriel $\R_{3}[X]$ muni du produit scalaire :
$$\ds\left\langle P,Q\right\rangle =\int_{0}^{1}{P(t)Q(t)\mathrm{d} t}$$On pose : $F=\text{Vect}(1,X)$. Déterminer $p_{F}(1+X+X^{2}+X^{3})$.
math/2/projection_orthogonale.1592771844.txt.gz · Dernière modification : 2020/06/21 22:37 de Alain Guichet