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math:2:projecteur_symetrie

Généralités sur les projecteurs et les symétries

Définition

Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d'un espace vectoriel $E$.

  • On appelle projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ l'application : $$\begin{array}{ccccc} p & \colon & E=F\oplus G & \to & E=F\oplus G\\ & & \vv{x}=\vv{x_1}+\vv{x_2} & \mapsto & p(\vv{x})=\vv{x_1} \end{array}$$
  • On appelle symétrie par rapport à $F$ dans la direction de $G$ l'application : $$\begin{array}{ccccc} s & \colon & E=F\oplus G & \to & E=F\oplus G\\ & & \vv{x}=\vv{x_1}+\vv{x_2} & \mapsto & s(\vv{x})=\vv{x_1}-\vv{x_2} \end{array}$$

// droite F de projection
// F=Vect(u) avec u=(1,2)
u=[3,6]
plot2d([-u(1),u(1)],[-u(2),u(2)],3)
// droite G de direction de projection
// G=Vect(v) avec v=(-1,2)
v=[6,3]
plot2d([-v(1),v(1)],[-v(2),v(2)],2)
// vecteur x à projeter sur P parallèlement à D
// x=(1,1)
x=[3,-2]
plot2d([0,x(1)],[0,x(2)],5)
// trace pour règle du parallélogramme
plot2d([x(1)-u(1),x(1)+u(1)],[x(2)-u(2),x(2)+u(2)])
plot2d([x(1)-v(1),x(1)+v(1)],[x(2)-v(2),x(2)+v(2)])

// plan P de projection
// P=Vect(i,j)
plot3d([-1,1],[-1,1],[0,0;0,0])
// droite D de direction de projection
// D=Vect(u) avec u=(1,2,3)=1.i+2.j+3.k
u=[1,2,3] ; tmax=1/max(abs(u(1:2)))
t=[-tmax,tmax] ; param3d(t*u(1),t*u(2),t*u(3))
// vecteur x à projeter sur P parallèlement à D
// x=(-1/2,1/2,1/2)=(-1/2).i+1/2.j+1/2.k
x=[-1/2,1/2,1/2]
t=[0,1] ; param3d(t*x(1),t*x(2),t*x(3))
// trace pour règle du parallélogramme
t=[-tmax,tmax]
param3d(x(1)+t*u(1),x(2)+t*u(2),x(3)+t*u(3))

Théorème : Propriétés des projecteurs et des symétries

Soit $E=F\oplus G$.

  • Soit $p$ le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$. Alors : $$p\in\mathcal{L}(E)$$$$G=\mathrm{Ker}(p)\qquad F=\text{Im}(p)=\mathrm{Ker}(p-\mathrm{Id})$$ $$E=\mathrm{Ker}(p)\oplus\mathrm{Im}(p)=\mathrm{Ker}(p)\oplus\mathrm{Ker}(p-\mathrm{Id})$$ En particulier : $$\ds\forall\vv{x}\in E,\;\vv{x}=(\vv{x}-p(\vv{x}))+p(\vv{x})$$ est la décomposition dans $\mathrm{Ker}(p)\oplus\mathrm{Im}(p)$ ou $\mathrm{Ker}(p)\oplus\mathrm{Ker}(p-\mathrm{Id})$.
  • Soit $s$ la symétrie par rapport à $F$ dans la direction de $G$. Alors : $$s\in\mathcal{L}(E)$$ $$\mathrm{Ker}(s)=\{\vv{0_E}\}\qquad\mathrm{Im}(s)=E$$ $$E=\mathrm{Ker}(s-\mathrm{Id})\oplus\mathrm{Ker}(s+\mathrm{Id})$$ En particulier : $$\ds\forall\vv{x}\in E,\;\vv{x}=\frac{1}{2}(\vv{x}+s(\vv{x}))+\frac{1}{2}(\vv{x}-s(\vv{x}))$$ est la décomposition dans $\mathrm{Ker}(s-\mathrm{Id})\oplus\mathrm{Ker}(s+\mathrm{Id})$.

Exemple

Soit $E=\R^{2}$. Déterminer deux projecteurs $f$ et $g$ de $E$ tels que : $$g\ne\Theta_{E}\qquad f\circ g=\Theta_{E}\qquad f+g\in\mathcal{GL}(E)$$

Théorème : Caractérisation d'un projecteur et d'une symétrie

Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Alors :

  • L'endomorphisme $u$ est un projecteur de $E$ si et seulement si $u^{2}=u$.
    En particulier, tout projecteur admet $X^{2}-X$ pour polynôme annulateur
  • L'endomorphisme $u$ est une symétrie de $E$ si et seulement si $u^{2}=\mathrm{Id}_{E}$.
    En particulier, toute symétrie admet $X^{2}-1$ pour polynôme annulateur.

Exemple

Soit $E=\R_n|X]$ avec $n\geqslant3$. Soit $A=(X-1)(X-2)$. Pour tout élément $P$ de $E$, on note $u(P)$ le reste dans la division euclidienne de $P$ par $A$. Montrer que $u$ est un endomorphisme de $E$ puis que $u$ est un projecteur de $E$. Déterminer le noyau et l'image de $u$.

math/2/projecteur_symetrie.txt · Dernière modification: 2020/06/21 19:53 par Alain Guichet