Découle de la définition du projecteur et du fait que l'on a une base orthonormale de $F$.

Soit $A$ la matrice de $p_{F}$ dans la base $\mathcal{B}$. Soit $\vv{x}$ représenté par la colonne $X$ dans la base $\mathcal{B}$. Alors :
$$\ds\left(\sum_{i=1}^{m}{U_{i}{}^{t}U_{i}}\right)X=\sum_{i=1}^{m}{U_{i}{}^{t}U_{i}X}=\sum_{i=1}^{m}{U_{i}\left\langle U_{i},X\right\rangle }=\sum_{i=1}^{m}{\left\langle U_{i},X\right\rangle U_{i}}=AX$$L'égalité étant vraie pour toute colonne $X$, on en conclut à l'égalité des matrices.