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math:2:point_critique

Condition nécessaire d'ordre 1 d'existence d'un extremum

Définition

Soit $f$ est définie sur $\R^{n}$. Soit $A$ un point de $\R^{n}$.

  • On dit que $f$ admet un maximum (resp. minimum) global en $A$ sur $\R^{n}$ si et seulement si :
    $$\ds\forall M\in\R^{n},\; f(M)\leqslant f(A)\qquad\text{resp.}\; f(M)\geqslant f(A)$$
  • On dit que $f$ admet un maximum (resp. minimum) local en $A$ si et seulement si :
    $$\ds\exists r>0\;/\:\forall M\in\R^{n},\;\|\vv{AM}\|\leqslant r\;\implies\; f(M)\leqslant f(A)\qquad\text{resp.}\; f(M)\geqslant f(A)$$

Exemples

  1. Justifier que la fonction norme admet un minimum global sur $\R^{n}$.
  2. Justifier que la fonction $f$ définie sur $\R^{2}$ par $f(x,y)=(x^{2}+y^{2})\ln(x^{2}+y^{2})$ pour $(x,y)\ne(0,0)$ et $f(0,0)=0$ admet un maximum local en $(0,0)$ et que ce maximum n'est pas global sur $\R^{2}$. La fonction $f$ admet-elle un minimum global sur $\R^{2}$ ? En quel(s) point(s) est-il atteint le cas échéant ?

Définition

On suppose que $f$ admet des fonctions dérivée partielles sur $\R^{n}$. On dit qu'un point $A$ de $\R^{n}$ est un point critique de la fonction $f$ si et seulement si $\nabla f(A)=\vv{0}$, autrement dit si et seulement si :
$$\ds\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\partial_{i}(f)(A)=0$$

Remarque

En un point critique, toutes les dérivées directionnelles sont nulles (pourvu qu'elles existent, ce qui est le cas lorsque $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$).

Théorème : Condition nécessaire d'existence

On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Si $f$ admet un extremum local en $A$ alors $A$ est un point critique de $f$.

Exemples

Pour chaque fonction, déterminer ses points critiques et préciser si $f$ y admet ou non un extremum local voire global.

  1. $f(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}$ pour $(x,y)\ne(0,0)$ et $f(0,0)=0$.
  2. $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$
  3. $f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}+x$
  4. $f(x,y)=x^{2}+xy-y^{2}+x$

Remarque

La condition énoncée est nécessaire mais n'est pas suffisante puisqu'il existe des points critiques en lesquels la fonction n'admet pas d'extremum. Un tel point est appelé point col ou point selle.

math/2/point_critique.txt · Dernière modification: 2020/05/10 21:19 (modification externe)