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math:2:derivees_directionnelles

Dérivées directionnelles en un point

Définition: Droite de l'espace affine

Soit $A$ un point de $\R^{n}$ et $\vv{u}$ un vecteur non nul de $\R^{n}$.

  • On appelle droite passant par $\boldsymbol{A}$ et de vecteur directeur $\boldsymbol{\vv{u}}$ l'ensemble :
    $$\ds d_{A,\vv{u}}=\left\{ M\in\R^{n}\mid\vv{AM}\in\mathrm{Vect}(\vv{u})\right\} =\left\{ A+t\vv{u}\mid t\in\R\right\}$$
  • L'application $\R\to\R^{n},\; t\mapsto A+t\vv{u}$ est une bijection de $\R$ dans $d_{A,\vv{u}}$ appelée paramétrisation de la droite $d_{A,\vv{u}}$.

Définition : Chemin rectiligne sur une surface de classe C^1

Soit $A$ un point de $\R^{n}$. Soit $\vv{u}=\alpha_{1}\vv*{e}{1}+\dots+\alpha_{n}\vv*{e}{n}$. Pour tout réel $t$, on pose :
$$g(t)=f(A+t\vv{u})$$On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Alors, $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R$ et on a :
$$\ds\forall t\in\R,\; g'(t)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A+t\vv{u})\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}\partial_{i}(f)(A+t\vv{u}})$$En particulier :
$$\ds g'(0)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A)\right\rangle$$

Définition : Dérivée directionnelle

Lorsque $\vv{u}$ est unitaire, ce réel $g'(0)$ est appelé dérivée de $\boldsymbol{f}$ en le point $\boldsymbol{A}$ dans la direction du vecteur $\boldsymbol{\vv{u}}$ :
$$\ds f'_{\vv{u}}(A)=g'(0)=\lim_{t\to0}{\frac{f(A+t\vv{u})-f(A)}{t}}$$

Exemples

  1. Soit $f\colon\R^{2}\to\R,\;(x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}+xy$.
    1. Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{2}$ et préciser son fonctions dérivées partielles d'ordre 1.
    2. On pose $u_{1}(t)=1+2t$, $u_{2}(t)=-1+3t$ et $g(t)=f(u_{1}(t),u_{2}(t))$ pour tout réel $t$.
      1. Justifier que $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R$ et préciser $g'(t)$ pour tout réel $t$.
      2. Préciser la dérivée directionnelle de $f$ en $(1,-1)$ dans la direction du vecteur $(2,3)$.
    3. Pour aller plus loin. On pose $v_{1}(t)=\e^{t}\cos(t)$, $v_{2}(t)=\e^{t}\sin(t)$ et $h(t)=f(v_{1}(t),v_{2}(t))$ pour tout réel $t$.
      1. Exprimer $h(t)$ pour tout réel $t$, justifier que $h$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R$ et déterminer $h'(t)$.
      2. Vérifier que :
        $$\ds\forall t\in\R,\; h'(t)=v_{1}'(t)\times\partial_{1}(f)(v_{1}(t),v_{2}(t))+v_{2}'(t)\times\partial_{2}(f)(v_{1}(t),v_{2}(t))$$
  2. Déterminer la dérivée directionnelle de $f$ en $A$ dans la direction de $\vv{u}$ dans les cas suivants :
    1. $f\colon(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto\alpha_{1}x_{1}+\dots+\alpha_{n}x_{n}+c$ avec $A=(-1,\dots,-1)$ et $\ds\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
    2. $f\colon M\mapsto\|\vv{OM}\|$ avec $A=O$ et $\ds\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ puis avec $A=(-1,\dots,-1)$ et $\ds\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
    3. $f\colon(x,y)\mapsto xy$, $\vv{u}=(a,b)$ tel que $a^{2}+b^{2}=1$ en $A=(1,1)$ puis en $B(-1,2)$ et $\vv{u}=(a,b)$. Déterminer ensuite le vecteur unitaire $\vv{u}=(a,b)$ tel que la dérivée dans la direction de $\vv{u}$ soit maximale.

Remarques

  • En cas d'existence, on a clairement :
    $$\ds \forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; f'_{\vv*{e}{i}}(A)=\partial_{i}(f)(A)$$
  • Une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur l'ouvert $\R^{n}$ admet une dérivée directionnelle en tout point de $\R^{n}$ et dans toutes les directions.
  • On peut définir la notion de dérivée directionnelle pour des fonctions qui ne sont pas de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ mais alors il peut y avoir des points en lesquels la fonction n'admet pas de dérivée dans certaines directions.

Théorème

Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ et $A$ un point de $\R^{n}$.

  • La dérivée directionnelle selon un vecteur unitaire $\vv{u}$ est égale à la pente de la courbe obtenue par intersection de $S_{f}$ avec l'hyperplan affine de $\R^{n+1}$ orthogonal à l'hyperplan $x_{n+1}=0$ et contenant la droite $d_{A,\vv{u}}$ de ce dernier hyperplan.
  • Si $\nabla f(A)$ n'est pas le vecteur nul alors :
    • la plus grande dérivée directionnelle en $A$ est obtenue pour le vecteur unitaire :
      $$\ds\frac{1}{\|\nabla f(A)\|}\nabla f(A)$$(donc selon la direction de $\nabla f(A)$) et vaut $\|\nabla f(A)\|$
    • la plus petite dérivée directionnelle en $A$ est obtenue selon la même direction mais dans le sens opposé.
  • Si $\nabla f(A)$ est le vecteur nul alors toutes les dérivées directionnelles sont nulles (le plan tangent est horizontal).

Remarque : Interprétation du gradient en un point A

Le vecteur $\nabla f(A)$ donne la direction de la ligne de « plus grande pente » à la surface $S_{f}$ au point $(A,f(A))$ (physiquement, si on lâche un objet en $(A,f(A))$, il va partir dans la direction et le sens de $-\nabla f(A)$ car il tombe).

math/2/derivees_directionnelles.txt · Dernière modification: 2020/05/10 21:19 (modification externe)