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math:2:continuite_sur_rn

Continuité des fonctions de n variables

Continuité en un point de R^n

Définition

Soit $f\colon\R^{n}\to\R$. Soit $A$ un point de $\R^{n}$. On dit que $f$ est continue en le point $A$ si et seulement si :
$$\ds\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0\;/\;\forall M\in\R^{n},\;\left[\;\|M-A\|=\|\vv{AM}\|\leqslant\alpha\;\implies\;\left|f(M)-f(A)\right|\leqslant\varepsilon\;\right]$$

Remarque

On peut constater l'analogie de cette définition avec le cas des fonctions numériques définies sur un intervalle de $\R$.

Exemple

Parmi les exemples du paragraphe précédent, quelles sont les fonctions continues en $O$ ? en $A(1,2)$ ?

Théorème

Soit $f$ et $g$ définies sur $\R^{n}$ à valeurs dans $\R$. Soit $\lambda\in\R$. Soit $A\in\R^{n}$.

  • Si $f$ et $g$ sont continues en $A$ alors $f+g$, $\lambda f$ et $fg$ sont continues en $A$.
  • [admis] Soit $\varphi\colon I\to\R$ où $I$ est un intervalle de $\R$ contenant $f(\R^{n})$.
    • Si $f$ est continue en $A$ et si $\varphi$ est continue en $f(A)$ alors $\varphi\circ f$ est continue en $A$.
    • En particulier, si $f$ et $g$ sont continues en $A$ et si $g$ ne s'annule pas en $A$ alors $\ds\frac{1}{g}$ et $\ds\frac{f}{g}$ sont continues en $A$.

Exemple ([HP] Autre résultat)

Soit $A(a_{1},\dots,a_{n})$ un point de $\R^{n}$. Soit $f\colon\R^{n}\to\R$ continue en $A$. Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $t_{0}\in I$.

  1. Soit $u_{1},\dots,u_{n}$ des fonctions définies sur $I$, à valeurs dans $\R$ et telles que :
    $$\ds\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\lim_{t\to t_{0}}{u_{i}(t)}=a_{i}$$Montrer que la fonction $g\colon I\to\R,\; t\mapsto f(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))$ est continue en $t_{0}$.
    1. En déduire que pour tout $i\in\llbracket1,n\rrbracket$, la fonction $t\mapsto f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})$ est continue en $a_{i}$.
    2. En déduire que pour tout vecteur $h\in\R^{n}$, la fonction $g\colon t\mapsto f(a+th)$ est continue en 0 (où $a=\vv{OA}$).

Remarque

On utilise les résultats ci-dessus essentiellement pour justifier (par contraposition) la non continuité d'une fonction en un point. Par exemple, pour $a\in\R$, la fonction $f_{a}$ définie par $\ds f_{a}(x,y)=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$ si $(x,y)\ne(0,0)$ et $f_{a}(0,0)=a$ n'est pas continue en $(0,0)$.

Continuité sur R^n

Définition

Soit $f\colon\R^{n}\to\R$. On dit que $f$ est continue sur $\R^{n}$ (et on note $f\in\mathcal{C}^{0}(\R^{n})$) si et seulement si $f$ est continue en chaque point de $\R^{n}$.

Théorème

Soit $f$ et $g$ définies sur $\R^{n}$ à valeurs dans $\R$. Soit $\lambda$ un réel.

  • Si $f$ et $g$ sont continues sur $\R^{n}$ alors $f+g$, $\lambda f$ et $fg$ sont continues sur $\R^{n}$.
  • Soit $\varphi\colon I\to\R$ où $I$ est un intervalle de $\R$ contenant $f(\R^{n})$.
    • Si $f$ est continue sur $\R^{n}$ et si $\varphi$ est continue sur $I$ alors $\varphi\circ f$ est continue sur $\R^{n}$.
    • En particulier, si $f$ et $g$ sont continues sur $\R^{n}$ et si $g$ ne s'annule pas sur $\R^{n}$ alors $\ds\frac{1}{g}$ et $\ds\frac{f}{g}$ sont continues sur $\R^{n}$.
    • [admis] Les fonctions polynomiales sont continues sur $\R^{n}$.

Exemples

  1. Montrer que la fonction $\vv{x}=(x_{1},\dots,x_{n})\longmapsto\|\vv{x}\|=\sqrt{x_{1}^{2}+\dots+x_{n}^{2}}$ est continue sur $\R^{n}$.
  2. Montrer que les projections $p_{i}\colon(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto x_{i}$ sont continues sur $\R^{n}$.
math/2/continuite_sur_rn.txt · Dernière modification: 2020/05/10 21:19 (modification externe)