Exemple

Soit $\mathcal{B}$ la base canonique de $\R^{3}$. On considère les vecteurs de $\R^{3}$ suivant : $$\vv{e_1}'=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\qquad\vv{e_2}'=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\qquad\vv{e_3}'=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

1. 1. Montrer que $\mathcal{B}'=(\vv{e_1}',\vv{e_2}',\vv{e_3}')$ est une base de $\R^{3}$.
   2. Préciser la matrice $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$. En déduire $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$.
2. Soit $p$ l'endomorphisme de $\R^{3}$ défini par :
   $$\ds p(\vv{e_1}')=\vv{e_1}'\qquad p(\vv{e_2}')=\vv{0}\qquad p(\vv{e_3}')=\vv{0}$$ Préciser la matrice $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(p)$ puis déterminer la matrice $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(p)$.

Exemples

1. Montrer que $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ sont semblables.
2. 1. Soit $A$ et $B$ deux matrices semblables de $\mathcal{M}_n(\R)$ : $B=Q^{-1}AQ$ avec $Q\in\mathcal{GL}_n(\R)$.
      1. Montrer que : $\forall k\in\N,\;B^k=Q^{-1}A^kQ$.
      2. Montrer que : $\forall P\in\R[X],\; P(B)=Q^{-1}P(A)Q$.
      3. En déduire que $A$ et $B$ ont les mêmes polynômes annulateurs.
   2. Soit $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{r})\in\R^{r}$ ($r\leqslant n$) des réels distincts deux à deux et $(m_{1},\dots,m_{r})\in(\N^{*})^{r}$ tels que :
      $$m_{1}+\dots+m_{r}=n$$On pose :
      $$D=\mathrm{diag}(\underset{m_{1}\text{ termes}}{\underbrace{\lambda_{1},\dots,\lambda_{1}}},\underset{m_{2}\text{ termes}}{\underbrace{\lambda_{2},\dots,\lambda_{2}}},\dots,\underset{m_{r}\text{ termes}}{\underbrace{\lambda_{r},\dots,\lambda_{r}}})\in\mathcal{M}_n(\R)$$
      1. Montrer que :
         $$\forall P\in\R[X],\; P(D)=\mathrm{diag}(\underset{m_{1}\text{ termes}}{\underbrace{P(\lambda_{1}),\dots,P(\lambda_{1})}},\dots,\underset{m_{r}\text{ termes}}{\underbrace{P(\lambda_{r}),\dots,P(\lambda_{r})}})$$
      2. En déduire que une CNS pour que $P$ soit un polynôme annulateur de $D$.
      3. On suppose que $A$ est semblable à $D$. Déterminer le polynôme unitaire de plus bas degré $P_{A}$ tel que $P_{A}(A)=\Theta$.