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math:2:polynome_annulateur

Polynômes annulateurs d'un endomorphisme

Définition

Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel. Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $Q=a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in\K[X]$.

  • L'endomorphisme $Q(u)=a_{0}\mathrm{Id}_{E}+a_{1}u+\dots+a_{n}u^{n}$ est appelé polynôme d'endomorphisme en $u$.
  • On dit que $Q$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $Q$ n'est pas le polynôme nul et $Q(u)=\Theta_{E}$.

Exemples

  1. Justifier que $X-1$ est un polynôme annulateur de $\mathrm{Id}_{E}$.
  2. Déterminer un polynôme annulateur de $\Theta_{E}$, d'une homothétie de rapport $\lambda$.
  3. Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ admettant un polynôme annulateur $P$. Montrer que: $P(0)\ne0\implies u\in\mathcal{GL}(E)$. Que dire de la réciproque ?
  4. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension $n\geqslant2$ et $u$ un endomorphisme de $E$. On suppose qu'il existe un vecteur $\vv{x}$ de $E$ tel que $(\vv{x},u(\vv{x}),u^{2}(\vv{x}),\dots,u^{n-1}(\vv{x}))$ est une base de $E$.
    1. Justifier qu'il existe une unique famille $(a_{0},\dots,a_{n-1})$ de scalaires telle que :
      $$u^{n}(\vv{x})=a_{0}\vv{x}+a_{1}u(\vv{x})+\dots+a_{n-1}u^{n-1}(\vv{x})$$
    2. Montrer que $u$ n'admet pas de polynôme annulateur de degré strictement inférieur à $n$.

Théorème

Soit $u\in\mathcal{L}(E)$, $(\lambda,\mu)\in\K^{2}$ et $(P,Q)\in\K[X]^{2}$. Alors :
$$(\lambda P+\mu Q)(u)=\lambda P(u)+\mu Q(u)$$$$(PQ)(u)=P(u)\circ Q(u)=Q(u)\circ P(u)=(QP)(u)$$En conséquence, si $P$ est un polynôme annulateur de $u$ alors $PQ$ est aussi un polynôme annulateur de $u$.

Théorème : Existence d'un polynôme annulateur

Tout endomorphisme d'un $\K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie admet un polynôme annulateur.

Remarque : Comment déterminer un polynôme annulateur en pratique ?

  1. Rechercher un polynôme unitaire de degré 1 (donc de la forme $X+a$).
  2. Si aucun polynôme de degré 1 ne convient, rechercher un polynôme unitaire de degré 2 (donc de la forme $X^{2}+aX+b$).
  3. Si aucun polynôme de degré 2 ne convient, rechercher un polynôme unitaire de degré 3 (donc de la forme $X^{3}+aX^{2}+bX+c$).
  4. On continue jusqu'à obtenir satisfaction (ce qui arrivera nécessairement compte tenu du théorème précédent).

Le polynôme unitaire que l'on obtient est appelé polynôme minimal de l'endomorphisme (c'est le polynôme unitaire de plus bas degré qui annule cet endomorphisme.

Exemple

Déterminer un polynôme annulateur de $u\colon\K^{2}\to\K^{2},\;\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} x+y \\ x+y \end{pmatrix}$.

math/2/polynome_annulateur.txt · Dernière modification: 2020/05/10 21:19 (modification externe)