On a le diagramme suivant formé de couples espace/base :
$$\begin{array}{ccc} (E,\mathcal{B}_{E}') & \xrightarrow[\quad A'\quad]{u} & (E,\mathcal{B}_{E}')\\ {\scriptstyle \text{Id}_{E}}\downarrow{\scriptstyle P} & & {\scriptstyle P}\downarrow{\scriptstyle \text{Id}_{E}}\\ (E,\mathcal{B}) & \xrightarrow[u]{\quad A\quad} & (E,\mathcal{B}_{E}) \end{array}$$c'est-à-dire que: $$\text{Id}_{E}\circ u=u\circ\text{Id}_{E}$$ et $$P\times A'=A\times P$$ ce qui donne le résultat attendu :
$$A'=P^{-1}\times A\times P$$