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math:2:calcul_integrale_segment

Techniques de calculs

Théorème : Intégration par parties

Soit $u$ et $v$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$. Pour tout $(a,b)\in I^{2}$, on a :
$$\ds\int_{a}^{b}{u'(t)v(t)\mathrm{d} t}=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_{a}^{b}{u(t)v'(t)\mathrm{d} t}$$

Exemples

  1. Calculer $\ds\int_{0}^{x}{(t^{2}+t+1)\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d} t}$ pour tout réel $x$.
  2. Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ avec $a<b$. Calculer :
    $$\ds\lim_{\lambda\to+\infty}{\int_{a}^{b}{f(t)\sin(\lambda t)}\mathrm{d} t}$$(avec $\lambda\in\R$).
  3. Soit $u$ et $v$ de classe $\mathcal{C}^n$ sur $[a,b]$. Montrer que :
    $$\ds\int_{a}^{b}{u^{(n)}v(t)\mathrm{d} t}=\sum_{k=0}^{n-1}{(-1)^{k}\left[u^{(n-1-k)}(t)v^{(k)}(t)\right]_{a}^{b}}+(-1)^{n}\int_{a}^{b}{u(t)v^{(n)}(t)\mathrm{d} t}$$
  4. En déduire la formule de Taylor avec reste intégral :
    $$\ds\forall(a,x)\in I^{2},\;f(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}+\int_{a}^{x}{\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t}$$pour $n\in\N^*$ et $f$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur un intervalle $I$.

Théorème : Changement de variable

Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et $u$ une bijection de $J$ dans $I$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $J$. Alors :
$$\ds\forall(\alpha,\beta)\in J^{2},\;\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(t))u'(t)\mathrm{d} t}=\int_{u(\alpha)}^{u(\beta)}{f(x)\mathrm{d} x}$$(la bijectivité n'est pas nécessaire dans cette première égalité) ou encore :
$$\ds\forall(a,b)\in I^{2},\;\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}{f(u(x))u'(x)\mathrm{d} x}$$Les changements de variable non affines sont fournis.

Applications

  1. Dans le cas où $f$ est continue et paire sur $I$, on a :
    $$\ds\forall a\in I\cap\R^{+},\;\int_{-a}^{a}{f(t)\mathrm{d} t}=2\int_{0}^{a}{f(t)\mathrm{d} t}$$
  2. Dans le cas où $f$ est continue et impaire sur $I$, on a :
    $$\ds\forall a\in I\cap\R^{+},\;\int_{-a}^{a}{f(t)\mathrm{d} t}=0$$
  3. Dans le cas où $f$ est continue et $T$-périodique sur $\R$, on a :
    $$\ds\forall a\in\R,\;\int_{a}^{a+T}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{0}^{T}{f(t)\mathrm{d} t}$$

Exemples

  1. En considérant le changement de variable $u=\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}$, calculer :
    $$\ds\int_{0}^{\ln(2)}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}\mathrm{d} x}$$
  2. Calculer :
    $$\ds\int_{-1}^{1}{\sqrt{1-x^{2}}\mathrm{d} x}$$On pourra poser: $x=\cos(t)$.
  3. Déterminer une primitive de $x\mapsto\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ sur $[-a,a]$ (on pourra poser $t=a\sin(x)$).
  4. On appelle équation différentielle toute équation comportant (au moins) la dérivée $y'$ d'une inconnue qui est une fonction $y$ dérivable sur un intervalle $I$. Résoudre une équation différentielle sur un intervalle $I$ c'est déterminer l'ensemble des fonctions $f$ dérivables sur $I$ qui vérifient cette équation. Par exemple, les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $y'=0$ sont les fonctions constantes sur $\R$ ; les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $y'=y$ sont les fonctions $f\colon t\mapsto\lambda\exp(t)$ où $\lambda$ est un réel.
    1. Soit $u$ une fonction continue sur $I$. Soit $U$ une primitive de $u$ sur $I$.
      Montrer que les solutions sur $I$ de l'équation différentielle $y'+uy=0$ sont les fonctions de la forme :
      $$\ds\exists K\in\R\;/\;\forall t\in I,\; f(t)=K\mathrm{e}^{-U(t)}$$(c'est le sous-espace vectoriel engendré par la fonction $t\mapsto\mathrm{e}^{-U(t)}$).
    2. Application 1 : Résoudre sur $]-1,+\infty[$ l'équation différentielle $y'+\ln(x+1)y=0$.
    3. Application 2 : Équation différentielle du premier ordre avec second membre.
      1. Déterminer $(a,b,c)\in\R^{3}$ tel que la fonction $f_{0}\colon x\mapsto ax^{2}+bx+c$ est une solution de l'équation différentielle $(x+1)y'+y=x^{2}-x-2$ sur $\R$.
      2. Démontrer que $f$ est solution de l'équation différentielle qui précède sur un intervalle $I$ si et seulement si $f-f_{0}$ est solution de l'équation différentielle $(x+1)y'+y=0$ sur ce même intervalle.
      3. En déduire les solutions de l'équation différentielle $(x+1)y'+y=x^{2}-x-2$.
math/2/calcul_integrale_segment.txt · Dernière modification: 2020/05/10 21:19 (modification externe)