Soit $(a,b)\in I^{2}$. Les fonctions $u'v$ et $uv'$ sont continues sur $I$ donc les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{u'v}$ et $\ds\int_{a}^{b}{uv'}$ existent. Par linéarité de l'intégrale, on a :
$$\ds\forall t\in[a,b],\;(u'v)(t)=(uv)'(t)-(uv')(t)$$donc :
$$\begin{array}{rcl} \ds\int_{a}^{b}{u'(t)v(t)\mathrm{d}t} & = & \ds\int_{a}^{b}{(uv)'(t)\mathrm{d}t}-\int_{a}^{b}{u(t)v'(t)\mathrm{d}t} \\ & = & \ds u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_{a}^{b}{u(t)v'(t)\mathrm{d}t} \end{array}$$puisque $uv$ est une primitive de $(uv)'$ sur $I$.