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Fonctions numériques définies sur R^n

Dans ce chapitre :

$n$ désigne un entier supérieur ou égal à 2.
On rappelle que la base canonique $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ de $\R^{n}$ (resp. $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n},\vv{e_{n+1}})$ de $\R^{n+1}$) est orthonormale pour le produit scalaire euclidien de $\R^{n}$ (resp. $\R^{n+1}$). On note $\left\langle .,.\right\rangle$ ce produit scalaire et $\|.\|$ sa norme associée.
L'ensemble (de points) $\R^{n}$ est muni d'un repère $\mathcal{R}_{n}=(O,\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ orthonormé.
On identifiera systématiquement chaque point $M$ de $\R^{n}$ avec le vecteur $\vv{x}=\vv{OM}$. Ainsi, si $M$ et $A$ sont deux points de $\R^{n}$, $M-A$ désigne soit le vecteur $\vv{AM}$, soit le point $B$ tel que $\vv{OB}=\vv{AM}$.
L'étude de la continuité d'une fonction en un point pathologique est hors programme, ainsi que l'étude des recollements de formules lorsque f est définie sur R^n par plusieurs formules.
La détermination de la classe d'une fonction n'est pas au programme.

Remarque : exercice préliminaire

1. Montrer que pour tout vecteur $\vv{x}=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}$ de $\R^{n}$, on a : $$\ds \sup_{i\in\llbracket1,n\rrbracket}|x_{i}|\leqslant\|\vv{x}\|\leqslant\sqrt{n}\sup_{i\in\llbracket1,n\rrbracket}|x_{i}|$$
2. En déduire que : $$\ds\forall(x,y)\in\R^{2},\;|xy|\leqslant x^{2}+y^{2}$$ Remarquons que l'on a aussi : $$\ds\forall(x,y)\in\R^{2},\;2|xy|\leqslant x^{2}+y^{2}$$
Montrer que : $$\ds\|\vv{x}\|\leqslant\sum_{i=1}^{n}{|x_{i}|}$$

Définition

Soit $f\colon\R^{n}\to\R,\;(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto f(x_{1},\dots,x_{n})$.

On appelle représentation graphique (ou graphe) de la fonction $f$ dans le repère $\mathcal{R}_{n+1}$ l'ensemble des points (appelé surface) :
$$S_{f}=\left\{ (x_{1},\dots,x_{n},f(x_{1},\dots,x_{n}))\in\R^{n+1}\mid(x_{1},\dots,x_{n})\in\R^{n}\right\}$$

Code Scilab pour la représentation dans le cas $n=2$ :

function z=f(x,y)
    z=...   // expression de f(x,y)
endfunction
x=[x_min:x_pas:x_max] ; y=[y_min:y_pas:y_max]   // domaine désiré
fplot3d(x,y,f)    // tracé direct ou bien
z=feval(x,y,f) ; plot3d(x,y,z)   // z matrice des images : z(i,j)=f(x(i),y(j))

Exemples

Une fonction du type $f\colon(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto\alpha_{1}x_{1}+\dots+\alpha_{n}x_{n}+\alpha_{n+1}$ où $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n},\alpha_{n+1})$ est un $(n+1)$-uplet de réels est appelée fonction affine.
Dans le cas où $\alpha_{n+1}=0$, montrer que le graphe de $f$ est un hyperplan (vectoriel) de $\R^{n+1}$.
Dans le cas où $\alpha_{n+1}\ne0$, on dira que le graphe de $f$ est un hyperplan affine de $\R^{n+1}$.
Autres exemples de telles fonctions : $$\ds f\colon(x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}$$ $$\ds f(x,y)=x\lfloor y\rfloor+y\lfloor x\rfloor$$ $$\ds f\colon(x,y,z)\mapsto\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$$ $$\ds f\colon(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto\ln\left(\frac{\mathrm{e}^{x_{1}}+\dots+\mathrm{e}^{x_{n}}}{n}\right)$$ $$\ds f\colon(x,y)\mapsto\begin{cases} \ds\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \text{si}\;(x,y)\ne(0,0) \\ 0 & \text{si}\;(x,y)=(0,0) \end{cases}$$ $$\ds f(x,y)=\begin{cases} 0 & \text{si}\; x<0 \\ x & \text{si}\; x\in[0,1] \\ 1 & \text{si}\; x>1 \end{cases}$$
```
function z=f(x,y)
    if x<0 then
        z=0
    elseif x<1 then
             z=x
    else z=1
    end
endfunction
x=[-3:0.01:3] ; y=x
fplot3d(x,y,f,5)
```
ou encore
```
function z=f(x,y)
    if x<0 then
        z=0
    elseif x<1 then
             z=x
    else z=1
    end
endfunction
x=[-3:0.01:3] ; y=x
z=feval(x,y,f) ; plot3d(x,y,z,5)
```
$$\ds f(x,y)=\begin{cases} 0 & \text{si}\; x<0 \\ 1 & \text{si}\; x\geqslant1 \end{cases}$$

Remarques

Si un point $M$ a pour coordonnées $(x_{1},\dots,x_{n})$ dans le repère $\mathcal{R}_{n}$ de l'espace $\R^{n}$, alors on pourra écrire $f(M)$ son image par $f$ plutôt que $f(x_{1},\dots,x_{n})$ ou encore $f(x)$ ($x$ est alors le vecteurs de coordonnées $(x_{1},\dots,x_{n})$ de $\R^{n}$).
On ne parlera jamais de fonctions croissantes ou décroissantes sur $\R^{n}$.
Par contre, on peut parler de fonctions majorées (ou minorées ou bornées) sur $\R^{n}$ : $$\ds\exists m\in\R\;/\;\forall(x_{1},\dots,x_{n})\in\R^{n},\; f(x_{1},\dots,x_{n})\leqslant m$$ Par exemple, $\ds(x,y)\mapsto\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$ (et $f(0,0)=0$) est bornée sur $\R^{2}$.

Définition

Soit $f\colon\R^{n}\to\R$ et $k$ un réel. On appelle ligne de niveau $k$ de la fonction $f$ dans le repère $\mathcal{R}_{n+1}$ la courbe obtenue par intersection du graphe de $f$ avec l'hyperplan d'équation $x_{n+1}=k$.
La définition est conforme à la notion intuitive dans le cas où $n=2$.

Code Scilab pour la représentation dans le cas $n=2$ :

function z=f(x,y)
    z=...   // expression de f(x,y)
endfunction
x=[x_min:x_pas:x_max] ; y=[y_min:y_pas:y_max]   // domaine désiré
fplot3d(x,y,f)
L=[...] // liste des valeurs k des lignes de niveaux
contour(x,y,f,L) // tracé des lignes sur la surface et/ou sur le plan de coordonnées

Exemple

Déterminer, en fonction de $k\in\R$, la ligne de niveau $k$ de : $$\ds f\colon(x,y)\mapsto2x-3y+1$$ $$\ds f\colon(x,y)\mapsto\sqrt{x^{2}+y^{2}}$$ $$\ds f\colon(x,y)\mapsto xy$$ $$\ds f\colon(x,y)\mapsto\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$

function z=f(x,y)
    if [x,y]==[0,0]
        z=0
    else z=x*y/(x^2+y^2)
    end
endfunction
x=[-3:0.1:3] ; y=x
fplot3d(x,y,f,5)
contour(x,y,f,[-1:0.2:1])

Définition

Soit $f\colon\R^{n}\to\R$. On dit que $f$ est polynomiale si et seulement si, pour tout entier $i\in\llbracket1,n\rrbracket$ et pour tout $a=(a_{1},\dots,a_{n})\in\R^{n}$, la fonction $t\mapsto f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})$ est polynomiale de la seule variable $t$ (la $i$-ème de $f$).

Exemple

La fonction $(x,y,z)\mapsto x^{3}y-4x^{2}z^{3}+2xy^{4}z^{2}$ est polynomiale.

Définition

Soit $f\colon\R^{n}\to\R,\;(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto f(x_{1},\dots,x_{n})$.

Soit $u_{1},\dots,u_{n}$ des fonctions définies sur un même intervalle $I$ de $\R$, à valeurs dans $\R$. Alors, l'ensemble des points de $\R^{n+1}$ :
$$\left\{ (u_{1}(t),\dots,u_{n}(t),f(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))\mid t\in I\right\}$$est appelé chemin sur la surface $S_{f}$.

Code Scilab pour la représentation dans le cas $n=2$ :

function z=f(x,y)   // définir aussi u1 et u2 si nécessaire
    z=...   // expression de f(x,y)
endfunction
function x=u1(t)
    x=...   // expression de u1(t)
endfunction
function y=u2(t)
    y=...   // expression de u2(t)
endfunction
x=[x_min:x_pas:x_max] ; y=[y_min:y_pas:y_max]
fplot3d(x,y,f) // ou bien z=feval(x,y,f) ; plot3d(x,y,z)
t=[t_min:t_pas:t_max]
x=u1(t) // ou bien x=feval(t,u1)
y=u2(t) // ou bien y=feval(t,u2)
z=zeros(t)
for k=1:length(t)
    z(k)=f(x(k),y(k))
end
param3d(x,y,z)

Exemple

Soit $f$ définie sur $\R^{2}$ par $f(x,y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ lorsque $\left\Vert (x,y)\right\Vert \leqslant1$ et $f(x,y)=0$ sinon.

Préciser le chemin $t\mapsto\left(-\frac{1}{2}+t,\frac{2}{3}-2t\right)$ sur la surface représentative $S$ de $f$.
Le représenter à l'aide de Scilab.

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