Théorème : Produit de convolution discret ou loi de la somme
Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes indépendantes définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Alors :
$$\ds\forall z\in(X+Y)(\Omega),\;\mathbb{P}(X+Y=z)=\sum_{\substack{x\in X(\Omega)\\
z-x\in Y(\Omega)
}
}{\mathbb{P}(X=x)\times\mathbb{P}(Y=z-x)}$$
Exemple
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes d'un même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ et suivant toute la même loi $\mathcal{G}(p)$. Déterminer la loi de $X+Y$.
Théorème : Somme de deux lois usuelles indépendantes
Soit $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires discrètes indépendantes d'un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$.