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math:2:couples_discrets

Couples de variables aléatoires discrètes

Théorème

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$.

  • La loi du couple est donnée par l'ensemble : $$\ds\left\{ \left.\left(x,y,\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])\right)\,\right|\; x\in X(\Omega),y\in Y(\Omega)\right\}$$
  • $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si : $$\ds\forall(x,y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega),\;\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])=\mathbb{P}(X=x)\mathbb{P}(Y=y)$$

Remarques

  • Le support du couple est l'ensemble $(X,Y)(\Omega)$. On constatera que $(X,Y)(\Omega)\subset X(\Omega)\times Y(\Omega)$.
  • La loi de $X$ est appelée première loi marginale du couple aléatoire $(X,Y)$, celle de $Y$ seconde loi marginale. On les obtient à partir de la loi conjointe : $$\ds\forall x\in X(\Omega),\;\mathbb{P}(X=x)=\sum_{y\in Y(\Omega)}{\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])}$$ $$\ds\forall y\in Y(\Omega),\;\mathbb{P}(Y=y)=\sum_{x\in X(\Omega)}{\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])}$$
  • Soit $x\in X(\Omega)$. On appelle loi conditionnelle de la variable aléatoire $Y$ conditionnée par l'événement $[X=x]$ l'ensemble : $$\ds\left\{ \left.\left(y,\mathbb{P}_{[X=x]}(Y=y)\right)\,\right|\; y\in Y(\Omega)\right\}$$

Exemple

On lance indéfiniment une pièce de monnaie truquée de sorte que le côté pile est obtenu avec la probabilité $p$ (avec $0<p<1$) et le côté face est obtenu avec la probabilité $q=1-p$. On note $X$ le rang du premier pile obtenu et $Y$ celui du deuxième.

  1. Déterminer la loi du couple $(X,Y)$. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
  2. En déduire la loi de $Y$. Admet-elle une espérance ?

Exemple

Soit $N$ une variable aléatoire de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ et soit $X$ une variable aléatoire telle que la loi de $X$ sachant $[N=n]$ est la loi $\mathcal{U}(\llbracket n,2n\rrbracket)$. Déterminer la loi de $X$. Calculer son espérance si elle existe.

Exemple

On considère une urne contenant $n$ jetons numérotés de 1 à $n$ (avec $n\geqslant2$). On prélève tous les jetons un par un au hasard et sans remise. Cette expérience est modélisée par un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Soit $(u_{1},\dots,u_{n})\in\Omega$ un résultat de cette expérience. Pour $i\in\llbracket2,n\rrbracket$, on note $M_{i}$ la variable aléatoire qui prend la valeur 0 lorsque $u_{i}<u_{i-1}$ et la valeur 1 lorsque $u_{i}>u_{i-1}$.

  1. Déterminer la loi de $M_{i}$, son espérance et sa variance.
  2. Soit $(i,j)\in\llbracket2,n\rrbracket^{2}$ tel que $i<j$. Déterminer la loi conjointe du couple $(M_{i},M_{j})$. Les variables aléatoires $M_{i}$ et $M_{j}$ sont-elles indépendantes ?
math/2/couples_discrets.txt · Dernière modification: 2020/05/25 10:31 par Alain Guichet