Outils pour utilisateurs

Outils du site


math:2:generalites_couples_aleatoires

Généralités sur les couples de variables aléatoires

Définition : Loi d'un couple de variables aléatoires

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires (discrètes ou non) d'un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$

  • On appelle tribu associée au couple aléatoire $(X,Y)$ la tribu notée $\mathcal{A}_{(X,Y)}$ engendrée par les événements $\left([X\leqslant x]\cap[Y\leqslant y]\right)_{(x,y)\in\R^{2}}$.
  • On appelle loi du couple aléatoire $(X,Y)$ la donnée de la fonction $F_{(X,Y)}\colon\R^{2}\to\R$, appelée répartition conjointe, définie par :
    $$\ds\forall(x,y)\in\R^{2},\; F_{(X,Y)}(x,y)=\mathbb{P}([X\leqslant x]\cap[Y\leqslant y])$$

Exemple
On lance une pièce de monnaie non truquée au plus deux fois selon le protocole suivant :

  • Si le 1er lancer donne pile alors $X$ prend la valeur 1 sinon $X$ prend la valeur $0$.
  • Un 2nd lancer a lieu uniquement lorsque le 1er lancer a donné pile et $Y$ prend la valeur 1 lorsque ce 2nd lancer a donné pile et la valeur 0 sinon.
  • Lorsqu'il n'y a pas de 2nd lancer, $Y$ prend toujours la valeur 0.

Déterminer la répartition conjointe du couple $(X,Y)$.

// 1ère version
subplot(1,2,1)
function z=F(x, y)
    if (x<0)|(y<0) then z=0
    elseif (x<1)&(y<1) then z=1/4
    elseif (x>=1)&(y<1) then z=1/2
    elseif (x<1)&(y>=1) then z=3/8
    else z=1
    end
endfunction
x=[-1:0.02:2.5] ; y=x ; fplot3d(x,y,F)

// 2nde version (sans les "plans verticaux")
subplot(1,2,2)
x=[-1,0] ; y=[-1,0] ; z=zeros(2,2) ; plot3d(x,y,z)
x=[0,2.5] ; y=[-1,0] ; z=zeros(2,2) ; plot3d(x,y,z)
x=[-1,0] ; y=[0,2.5] ; z=zeros(2,2) ; plot3d(x,y,z)
x=[0,1] ; y=[0,1] ; z=1/4*ones(2,2) ; plot3d(x,y,z)
x=[0,1] ; y=[1,2.5] ; z=3/8*ones(2,2) ; plot3d(x,y,z)
x=[1,2.5] ; y=[0,1] ; z=1/2*ones(2,2) ; plot3d(x,y,z)
x=[1,2.5] ; y=[1,2.5] ; z=ones(2,2) ; plot3d(x,y,z)

Théorème (admis)

Si $(X_{1},Y_{1})$ et $(X_{2},Y_{2})$ sont deux couples aléatoires d'un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ admettant la même loi de probabilité alors, pour toute fonction $g\colon\R^{2}\to\R$ continue sur $\R^{2}$ (voir le chapitre idoine), les variables aléatoires $g(X_{1},Y_{1})$ et $g(X_{2},Y_{2})$ ont même loi de probabilité.

Définition : Indépendance de deux variables aléatoires

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires (discrètes ou non) d'un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. On dit que $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si :
$$\forall(x,y)\in\R^{2},\; F_{(X,Y)}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$$ou encore :
$$\forall(x,y)\in\R^{2},\;\mathbb{P}([X\leqslant x]\cap[Y\leqslant y])=\mathbb{P}(X\leqslant x)\mathbb{P}(Y\leqslant y)$$

Théorème : Caractérisations de l'indépendance (admis)

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires (discrètes ou non) d'un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$.

  • $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si pour tous intervalles $I$ et $J$ de $\R$ :
    $$\mathbb{P}(\left[X\in I\right]\cap\left[Y\in J\right])=\mathbb{P}(X\in I)\mathbb{P}(Y\in J)$$
  • $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si pour tout événement $A\in\mathcal{A}_{X}$ et tout événement $B\in\mathcal{A}_{Y}$ :
    $$\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$$

Théorème : Espérance conditionnelle et indépendance

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires (discrètes ou non) d'un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Si $X$ admet une espérance, si $X$ et $Y$ sont indépendantes et si $B\in\mathcal{A}_{Y}$ est de probabilité non nulle alors :
$$\mathbb{E}(X\mid B)=\mathbb{E}(X)$$

math/2/generalites_couples_aleatoires.txt · Dernière modification: 2020/05/10 21:19 (modification externe)