Soit $z\in\R$. Comme $([X=x_{i}])_{i\in\N}$ est un système (presque) complet d'événements, on a : $$\begin{array}{rcl} \mathbb{P}(X+Y=z) & = & \ds\sum_{x\in X(\Omega)}{\mathbb{P}([X=x]\cap[X+Y=z])} \\ & = & \ds\sum_{x\in X(\Omega)}{\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=z-x])} \\ & = & \ds\sum_{\substack{x\in X(\Omega)\\z-x\in Y(\Omega)}}{\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=z-x])} \\ & = & \ds\sum_{\substack{x\in X(\Omega)\\z-x\in Y(\Omega)}}{\mathbb{P}(X=x)\times\mathbb{P}(Y=z-x)}\end{array}$$ par indépendance de $X$ et de $Y$.