<html><a name=“orthogonalite_sous_espaces_propres”></a></html>
Théorème : Orthogonalité des sous-espaces propres
Théorème
Tout endomorphisme symétrique de $E$ est diagonalisable (à valeurs propres toutes réelles) dans une base orthonormale.
Exemple
Soit $a\in\R$ et $u\in\mathcal{L}(\R^{3})$ tel que : $$u\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} a \\ a \\ a \end{pmatrix}$$ $$u\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $$u\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} a \\1 \\1 \end{pmatrix}$$ Justifier que $u$ est un endomorphisme symétrique puis le diagonaliser dans une base orthonormale.
Théorème
Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormale constituée de vecteurs propres. Autrement dit, une matrice $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$ est symétrique si et seulement s'il existe une matrice orthogonale $P$ telle que ${}^{t}PAP$ est diagonale.
Exemple
<html><a name=“decomposition_matrice_symetrique”></a></html>
Théorème : Décomposition en combinaison de projecteurs de rang 1
Soit $A$ une matrice symétrique réelle de $\mathcal{M}_{n}(\R)$. Alors, notant $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$ les valeurs propres de $A$ et $(X_{1},\dots,X_{n})$ une base orthonormale de vecteurs propres de $A$ telle que $AX_{i}=\lambda_{i}X_{i}$ pour tout entier $i\in\llbracket1,n\rrbracket$, on a : $$\ds A=\sum_{i=1}^{n}{\lambda_{i}X_{i}{}^{t}X_{i}}=\lambda_{1}X_{1}{}^{t}X_{1}+\dots+\lambda_{n}X_{n}{}^{t}X_{n}$$ En particulier, $A$ est combinaison linéaire de $n$ matrices de projecteurs de rang 1.
Exemple
Soit $u$ un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien $E$. Soit $\lambda_{1}<\dots<\lambda_{k}$ ses valeurs propres distinctes et $F_{1},\dots,F_{k}$ ses sous-espaces propres associés respectifs. Montrer que : $$u=\lambda_{1}p_{F_{1}}+\dots+\lambda_{k}p_{F_{k}}$$