Définition
Soit $E$ un espace euclidien. On appelle projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel $F$, notée $p_{F}$, la projection sur $F$ parallèlement à $F^{\perp}$.
// plan P de projection // P=Vect(i,j) plot3d([-1,1],[-1,1],[0,0;0,0]) // droite D de direction de projection // D=Vect(k) avec u=(0,0,1)=0.i+0.j+1.k u=[0,0,3] t=[-0.2,1] ; param3d(t*u(1),t*u(2),t*u(3)) // vecteur x à projeter sur P parallèlement à D // x=(-1/2,1/2,1/2)=(-1/2).i+1/2.j+1/2.k x=[-1/2,1/2,2] t=[0,1] ; param3d(t*x(1),t*x(2),t*x(3)) // vecteurs xP et xD param3d(t*x(1),t*x(2),t*0) param3d(t*0,t*0,t*x(3)) // trace pour règle du parallélogramme t=[-1,0.4] param3d(x(1)+t*u(1),x(2)+t*u(2),x(3)+t*u(3))
Exemples
Théorème : Coordonnées du projeté orthogonal
Soit $E$ un espace euclidien et $F$ un sous-espace de $E$.
Exemple
On considère l'espace vectoriel $\R_{3}[X]$ muni du produit scalaire : $$\ds\left\langle P,Q\right\rangle =\int_{0}^{1}{P(t)Q(t)\mathrm{d} t}$$ On pose : $F=\text{Vect}(1,X)$. Déterminer $p_{F}(1+X+X^{2}+X^{3})$.