Définition
Soit $f$ est définie sur $\R^{n}$. Soit $A$ un point de $\R^{n}$.
Exemples
Définition
On suppose que $f$ admet des fonctions dérivée partielles sur $\R^{n}$. On dit qu'un point $A$ de $\R^{n}$ est un point critique de la fonction $f$ si et seulement si $\nabla f(A)=\vv{0}$, autrement dit si et seulement si :
$$\ds\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\partial_{i}(f)(A)=0$$
Remarque
En un point critique, toutes les dérivées directionnelles sont nulles (pourvu qu'elles existent, ce qui est le cas lorsque $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$).
Théorème : Condition nécessaire d'existence
On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Si $f$ admet un extremum local en $A$ alors $A$ est un point critique de $f$.
Exemples
Pour chaque fonction, déterminer ses points critiques et préciser si $f$ y admet ou non un extremum local voire global.
Remarque
La condition énoncée est nécessaire mais n'est pas suffisante puisqu'il existe des points critiques en lesquels la fonction n'admet pas d'extremum. Un tel point est appelé point col ou point selle.