Dans ce paragraphe, $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$.
Définition
Exemples
Théorème : Caractérisation de l'orthogonalité en dimension finie
Soit $F=\mathrm{Vect}(\vv{x_1},\dots,\vv{x_k})$ et $G=\mathrm{Vect}(\vv{y_1},\dots,\vv{y_h})$ deux sous-espaces de $E$. Alors :
$$\ds F\perp G\;\iff\;\forall(i,j)\in\llbracket1,k\rrbracket\times\llbracket1,h\rrbracket,\;\varphi(\vv{x_i},\vv{y_j})=0$$
Remarque
En pratique, on utilise ce résultat avec des bases plutôt qu'avec des familles génératrices quelconques.
Théorème : Théorème de Pythagore
Deux vecteurs $\vv{x}$ et $\vv{y}$ de $E$ sont $\varphi$-orthogonaux si et seulement si $\ds\|\vv{x}+\vv{y}\|^{2}=\|\vv{x}\|^{2}+\|\vv{y}\|^{2}$.