Soit $\varphi$ un produit scalaire sur $E$ de norme associée $\|.\|$. Alors :
$\ds\forall\vv{x}\in E,\;\|\vv{x}\|=0\;\iff\;\vv{x}=\vv{0_E}$,
$\ds\forall\vv{x}\in E,\forall\lambda\in\R,\;\|\lambda\vv{x}\|=|\lambda|\times\|\vv{x}\|$,
$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\|\vv{x}+\vv{y}\|^{2}=\|\vv{x}\|^{2}+\|\vv{y}\|^{2}+2\varphi(\vv{x},\vv{y})$,
Inégalité de Cauchy-Schwarz :
$$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\left|\varphi(\vv{x},\vv{y})\right|\leqslant\|\vv{x}\|\times\|\vv{y}\|$$De plus, cette inégalité est une égalité si et seulement si les vecteurs $\vv{x}$ et $\vv{y}$ sont colinéaires.
Inégalité triangulaire :
$$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\|\vv{x}+\vv{y}\|\leqslant\|\vv{x}\|+\|\vv{y}\|$$