Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction dérivable sur $I$ telle que : $F'=f$.
Théorème
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$, toute primitive est alors de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et deux primitives distinctes diffèrent d'une constante.
Définition
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$. Soit $(a,b)\in I^{2}$ tel que $a\leqslant b$. On appelle intégrale de $f$ sur le segment $[a,b]$ le réel :
$$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=F(b)-F(a)$$où $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ (le réel est indépendant du choix de la primitive $F$).
Théorème : Lien avec les primitives
Soit $f$ une fonction continue sur $I$. Soit $a\in I$. La fonction $\ds x\mapsto\int_{a}^{x}{f(t)\mathrm{d} t}$ est la primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$.
Exemples
Théorème : Propriétés de l'intégrale d'une fonction continue
Définition
Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Le réel $\ds\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ est appelé valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$.
Définition : Intégrale d'une fonction continue par morceaux
Théorème : Sommes de Riemann ou méthode des rectangles
Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a,b]$. Alors :
$$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\lim_{n\to+\infty}{\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}{f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)}}=\lim_{n\to+\infty}{\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}{f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)}}$$
Exemples