Conformément au programme, la démonstration s'effectue dans le cas où $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $[a,b]$.

Pour tout entier $n\geqslant1$ et tout entier $k\in\llbracket1,n\rrbracket$, on pose : $$\ds a_{k}=a+k\frac{b-a}{n}$$(subdivision de $[a,b]$). Pour tout $n\in\N^{*}$, on a :
$$\begin{array}{rcl} \ds\left|\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}{f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)}-\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d}t}\right| & = & \ds\left|\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{b-a}{n}f(a_{k})-\int_{a_{k-1}}^{a_{k}}{f(t)\mathrm{d}t}\right)\right| \\ & = & \ds\left|\sum_{k=1}^{n}\left(\int_{a_{k-1}}^{a_{k}}{f(a_{k})\mathrm{d}t}-\int_{a_{k-1}}^{a_{k}}{f(t)\mathrm{d}t}\right)\right| \\ & = & \ds\left|\sum_{k=1}^{n}\int_{a_{k-1}}^{a_{k}}\left[f(a_{k})-f(t)\right]\mathrm{d}t\right| \\ & \leqslant & \ds\sum_{k=1}^{n}\int_{a_{k-1}}^{a_{k}}{\left|f\left(a_{k}\right)-f(t)\right|\mathrm{d}t} \end{array}$$

Comme $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $[a,b]$ donc sur chaque intervalle $[a_{k-1},a_{k}]$, on peut appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange :
$$\begin{array}{rcl} \ds\left|\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}{f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)}-\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d}t}\right| & \leqslant & \ds\sum_{k=1}^{n}\int_{a_{k-1}}^{a_{k}}{\left|a_{k}-t\right|\left(\max_{[a_{k-1},a_{k}]}|f'|\right)\mathrm{d}t} \\ & \leqslant & \ds\sum_{k=1}^{n}\int_{a_{k-1}}^{a_{k}}{\left|a_{k}-t\right|\left(\max_{[a,b]}|f'|\right)\mathrm{d}t} \\ & \leqslant & \ds\left(\max_{[a,b]}|f'|\right)\sum_{k=1}^{n}\int_{a_{k-1}}^{a_{k}}{(a_{k}-t)\mathrm{d}t} \\ & \leqslant & \ds\left(\max_{[a,b]}|f'|\right)\sum_{k=1}^{n}{\frac{(a_{k}-a_{k-1})^{2}}{2}} \\ & \leqslant & \ds\left(\max_{[a,b]}|f'|\right)\frac{(b-a)^{2}}{2n^{2}}n \\ & \leqslant & \ds\left(\max_{[a,b]}|f'|\right)\frac{(b-a)^{2}}{2n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0 \end{array}$$

On peut constater que l'on obtient au passage une majoration de l'erreur commise en remplaçant la valeur de l'intégrale par la somme de Riemann au rang $n$, c'est-à-dire que l'on a un majorant de la vitesse de convergence de la somme de Riemann vers l'intégrale (peu rapide ici).