Théorème : Théorème fondamental du changement de base
Soit $u\in\mathcal{L}(E)$, $A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)$, $A'=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}'}(u)$ et $P=P_{\mathcal{B}_{E},\mathcal{B}_{E}'}$. Alors :
$$A'=P^{-1}\times A\times P$$
Exemple
Soit $\mathcal{B}$ la base canonique de $\R^{3}$. On considère les vecteurs de $\R^{3}$ suivant : $$\vv{e_1}'=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\qquad\vv{e_2}'=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\qquad\vv{e_3}'=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Théorème
Deux matrices semblables de $\mathcal{M}_n(\K)$ représentent le même endomorphisme exprimé dans deux bases différentes. En conséquence, deux matrices semblables ont le même rang.
Exemples