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Supplémentaire orthogonal

Dans ce paragraphe, $(E,\left\langle .,.\right\rangle )$ est un espace euclidien.

Théorème

Soit $F$ un sous-ensemble de $E$ (et en particulier un sous-espace vectoriel de $E$). L'ensemble des vecteurs de $E$ qui sont orthogonaux à chaque vecteur de $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Définition

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Le sous-espace des vecteurs orthogonaux à $F$ est appelé orthogonal de $F$ et se note $F^{\perp}$.

Exemples

  1. (résultat à connaître) Soit $\vv{x}\in E$. Montrer que : $$\ds\vv{x}=\vv{0_E}\;\iff\;\forall\vv{y}\in E,\;\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle =0$$ En déduire $E^{\perp}$.
  2. Vérifier que $\{\vv{0_E}\}^{\perp}=E$.
  3. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer que la somme $F+F^{\perp}$ est directe.

Théorème : Caractérisation de l'orthogonal en dimension finie

Si $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_p})$ est une base d'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ alors : $$\ds\vv{x}\in F^{\perp}\;\iff\;\forall i\in\llbracket1,p\rrbracket,\;\left\langle \vv{x},\vv{e_i}\right\rangle =0$$

Exemples

  1. Soit $E=\R^{3}$ muni du produit scalaire canonique et $F=\mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \right)$. Déterminer une base de $F^{\perp}$.
  2. Déterminer $\R_{1}[X]^{\perp}$ pour le produit scalaire $\ds\left\langle P,Q\right\rangle =\frac12\int_{-1}^{1}{P(t)Q(t)\mathrm{d}t}$ de $\R_2[X]$.

Théorème : Dimension de l'orthogonal

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors $F^{\perp}$ est un supplémentaire de $F$ dans $E$. En particulier : $$\ds\dim(F^{\perp})=\dim(E)-\dim(F)$$

Exemples

  1. Dans $\R^{3}$ muni du produit scalaire canonique, on considère les plans $P$ et $P'$ d'équations cartésiennes respectives : $$x+2y+3z=0\qquad\text{et}\qquad x-y-z=0$$ Déterminer $P^{\perp}$ puis $(P\cap P')^{\perp}$.
  2. On considère l'espace vectoriel $\R_3[X]$ muni du produit scalaire $\left\langle P,Q\right\rangle =\int_{0}^{1}{P(t)Q(t)\mathrm{d}t}$. On pose : $F=\mathrm{Vect}(1,X)$. Déterminer une base de $F^{\perp}$.
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