Esp Eucli >	Prod scal	Norme	Ortho	Fam ortho	Bases ortho	Supplé ortho

Norme

Définition

Soit $\varphi$ un produit scalaire sur $E$.

On appelle norme associée au produit scalaire $\varphi$ l'application $\|.\|\colon E\to\R^{+}$ définie par :
$$\ds\forall\vv{x}\in E,\;\|\vv{x}\|=\sqrt{\varphi(\vv{x},\vv{x})}$$
On dit d'un vecteur $\vv{x}$ de $E$ qu'il est unitaire pour la norme $\|.\|$ si et seulement si $\|\vv{x}\|=1$.

Remarque
Attention à ne pas confondre les deux interprétations possibles de la locution « polynôme unitaire » :

polynôme de coefficient dominant égal à 1 (c'est presque toujours l'interprétation à faire),
polynôme de norme 1 pour le produit scalaire défini sur un certain espace vectoriel de polynômes (en général, on précise de norme 1 plutôt que unitaire).

Soit $\varphi$ un produit scalaire sur $E$ de norme associée $\|.\|$. Alors :

$\ds\forall\vv{x}\in E,\;\|\vv{x}\|=0\;\iff\;\vv{x}=\vv{0_E}$,
$\ds\forall\vv{x}\in E,\forall\lambda\in\R,\;\|\lambda\vv{x}\|=|\lambda|\times\|\vv{x}\|$,
$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\|\vv{x}+\vv{y}\|^{2}=\|\vv{x}\|^{2}+\|\vv{y}\|^{2}+2\varphi(\vv{x},\vv{y})$,
Inégalité de Cauchy-Schwarz :
$$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\left|\varphi(\vv{x},\vv{y})\right|\leqslant\|\vv{x}\|\times\|\vv{y}\|$$De plus, cette inégalité est une égalité si et seulement si les vecteurs $\vv{x}$ et $\vv{y}$ sont colinéaires.
Inégalité triangulaire :
$$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\|\vv{x}+\vv{y}\|\leqslant\|\vv{x}\|+\|\vv{y}\|$$

Exemples

Démontrer que :
$$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle =\frac{1}{4}\left[\|\vv{x}+\vv{y}\|^{2}-\|\vv{x}-\vv{y}\|^{2}\right]$$
Déterminer une CNS portant sur les vecteurs $\vv{x}$ et $\vv{y}$ pour que l'inégalité triangulaire soit une égalité.
Montrer que pour toutes fonctions $f$ et $g$ continues sur $[a,b]$ (avec $a<b$), on a :
$$\ds\left(\int_{a}^{b}{f(t)g(t)\mathrm{d}t}\right)^{2}\leqslant\left(\int_{a}^{b}{f(t)^{2}\mathrm{d}t}\right)\left(\int_{a}^{b}{g(t)^{2}\mathrm{d}t}\right)$$

Esp Eucli >	Prod scal	Norme	Ortho	Fam ortho	Bases ortho	Supplé ortho