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Cas des fonctions positives

Théorème

On suppose que $f$ est continue et positive sur $\left[a,b\right[$. Alors, l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ converge si et seulement si l'application $\ds x\mapsto\int_{a}^{x}{f(t)\mathrm{d} t}$ (primitive de $f$ sur $[a,b[$ s'annulant en $a$) est majorée sur $\left[a,b\right[$.

Remarque

Lorsque l'intégrale sur $\left[a,b\right[$ d'une fonction $f$ positive sur $\left[a,b\right[$ est divergente en $b$ alors : $$\ds\lim_{x\to b}{\int_{a}^{x}{f(t)\mathrm{d} t}}=+\infty$$

Définition

Pour tout réel $\alpha$, les intégrales $\ds\int_{1}^{+\infty}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{0}^{1}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}$ sont appelées intégrales de Riemann.

Théorème : Convergence et divergence des intégrales de Riemann

Soit $\alpha$ un réel. Alors :

  • L'intégrale $\ds\int_{1}^{+\infty}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}$, impropre en $+\infty$, converge si et seulement si $\alpha>1$.
    De plus, en cas de convergence, on a: $$\ds\forall\alpha>1,\;\int_{1}^{+\infty}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}=\frac{1}{\alpha-1}$$
  • L'intégrale $\ds\int_{0}^{1}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}$, impropre en 0, converge si et seulement si $\alpha<1$.
    De plus, dans les cas de convergence, on a : $$\ds\forall\alpha<1,\;\int_{0}^{1}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}=\frac{1}{1-\alpha}$$ Plus généralement, les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{\frac{1}{(x-a)^{\alpha}}\mathrm{d} x}$ (impropre en $a$) et $\ds\int_{a}^{b}{\frac{1}{(b-x)^{\alpha}}\mathrm{d} x}$ (impropre en $b$), convergent si et seulement si $\alpha<1$ (par changement de variable respectif $t=\frac{x-a}{b-a}$ et $t=\frac{b-x}{b-a}$).
    De plus, dans les cas de convergence, on a : $$\ds\forall\alpha<1,\;\int_{a}^{b}{\frac{1}{(x-a)^{\alpha}}\mathrm{d} x}=\int_{a}^{b}{\frac{1}{(b-x)^{\alpha}}\mathrm{d} x}=\frac{(b-a)^{1-\alpha}}{1-\alpha}$$

Théorème : Théorème de comparaison (1ère partie)

On suppose que $f$ et $g$ sont continues et positives sur $[a,b[$.

  • On suppose que : $\ds\forall t\in[a,b[,\; f(t)\leqslant g(t)$. Alors :
    • si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{g(t\mathrm{d} t}$ converge en $b$ alors l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ converge en $b$,
    • si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ diverge en $b$ alors l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$ diverge en $b$.
  • On suppose que : $f(t)\underset{t\to b}{\sim}g(t)$. Alors, les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$ sont de la même nature.

Exemples

  1. Convergence de $\ds\int_{0}^{+\infty}{\frac{1+t}{1+t^{3}}\mathrm{d} t}$.
  2. Soit $f$ continue, décroissante et positive sur $[a,+\infty[$.
    1. Montrer que si l'intégrale $\ds\int_{a}^{+\infty}{f(t)\mathrm{d} t}$ converge alors $\ds\lim_{t\to+\infty}{f(t)}=0$.
    2. Montrer que l'intégrale $\ds\int_{a}^{+\infty}{f(t)\mathrm{d} t}$ converge si et seulement si la série $\ds\sum_{n\geqslant a}{f(n)}$ converge.

Théorème : Existence de la fonction gamma

L'intégrale $\ds\int_{0}^{+\infty}{t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d} t}$, impropre en 0 (selon les valeurs du réel $x$) et en $+\infty$, est convergente si et seulement si $x>0$.

Définition

On appelle fonction Gamma l'application $\ds\Gamma\colon]0,+\infty[\to\R,\; x\mapsto\int_{0}^{+\infty}{t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d} t}$.

Théorème : Propriétés de la fonction Gamma

Pour tout réel $x>0$, on a :
$$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$$En particulier, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$\Gamma(n+1)=n!$$

Exemples

  1. Soit $\alpha\in\R$. Déterminer une CNS de convergence puis calculer l'intégrale $\ds\int_{0}^{+\infty}{\mathrm{e}^{-\alpha t}\mathrm{d} t}$ en fonction de $\alpha$.
  2. Convergence et calcul de $\ds\int_{0}^{+\infty}{t^{n}\mathrm{e}^{-\alpha t}\mathrm{d} t}$ où $n\in\N$ et $\alpha\in\R$.
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