Dans ce paragraphe, $E$ et $F$ sont deux $\K$-espaces vectoriels.
Définition
Théorème
Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$. Alors :
Théorème : Construction d'une application linéaire
Soit $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n})$ une base de $E$ et $(\vv{y_1},\dots,\vv{y_n})$ une famille de vecteurs de $F$. Alors : $$\ds\exists!u\in\mathcal{L}(E,F)\;/\;\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; u\left(\vv{x_i}\right)=\vv{y_i}$$
Théorème : Structure d'espace vectoriel (et d'algèbre)
Remarques
Théorème : Formule du binôme de Newton
Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ tels que $\boxed{v\circ u=u\circ v}$. Alors :
$$\ds\forall n\in\N,\;(u+v)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}u^{k}\circ v^{n-k}}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}u^{n-k}\circ v^{k}}$$
Définition : Noyau et image
Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$.
Théorème : Noyau/image et injectivité/surjectivité
Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$. Alors :
Théorème : Théorème du rang
On suppose que $E$ est de dimension finie (peu importe pour $F$). Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$.
Remarque
Lorsque $\dim(F)=\dim(E)$ et $F\ne E$, le dernier résultat n'est pas utilisable tel quel même s'il est valide, on revient à l'utilisation du premier point.
Exemples
Définition
On appelle hyperplan de $E$ tout noyau d'une forme linéaire non nulle.
Théorème
On suppose que $E$ est de dimension finie. Tout hyperplan de $E$ est de dimension finie égale à $\dim(E)-1$.
Définition
Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $F$ un sous-espace de $E$. On dit que $F$ est stable par $u$ si seulement si $u(F)\subset F$, c'est à dire si et seulement si :
$$\forall\vv{x}\in F,\; u\left(\vv{x}\right)\in F$$
Exemples
Remarque
Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $F$ un sous-espace de $E$ stable par $u$. Alors, l'application $u_{F}\colon F\to F,\;\vv{x}\mapsto u\left(\vv{x}\right)$ est un endomorphisme de $F$ appelé endomorphisme induit par $u$ sur le sous-espace stable $F$.