Soit $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_p})$ une base de $\mathrm{Ker}(u)$. Le théorème de la base incomplète permet de compléter cette famille libre en une base $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_p},\vv{e_{p+1}},\dots,\vv{e_n})$ de $E$. Or, on sait que : $$\mathrm{Im}(u)=\mathrm{Vect}(u(\vv{e_1}),\dots,u(\vv{e_p}),u(\vv{e_{p+1}}),\dots,u(\vv{e_n}))=\mathrm{Vect}(u(\vv*{e_{p+1}}),\dots,u(\vv{e_n}))$$

On montre alors que cette famille génératrice de $\mathrm{Im}(u)$ est aussi une famille libre.

Soit $a_{p+1},\dots,a_n\in\K^{n-p}$ tel que : $$a_{p+1}u(\vv{e_{p+1}})+\dots+a_{n}u(\vv{e_1})=\vv{0_F}$$ Par linéarité de $u$, on en déduit que : $$u(a_{p+1}\vv{e_{p+1}}+\dots+a_{n}\vv{e_n})=\vv{0_F}$$ $$a_{p+1}\vv{e_{p+1}}+\dots+a_{n}\vv{e_n}\in\mathrm{Ker}(u)$$ Mais $a_{p+1}\vv{e_{p+1}}+\dots+a_{n}\vv{e_n}$ est élément d'un supplémentaire de $\mathrm{Ker}(u)$ donc : $$a_{p+1}\vv{e_{p+1}}+\dots+a_{n}\vv{e_n}=\vv{0_E}$$ $$a_{p+1}=\dots=a_n=0_{\K}$$

On en déduit que $\mathrm{rg}(u)=n-p$ d'où l'égalité : $$\dim(E)=n=p+(n-p)=\dim(\mathrm{Ker}(u))+\mathrm{rg}(u)$$