Table des matières

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Fonctions de classe C^1 sur R^n

Fonctions de classe C^1

Définition

On dit que $f$ est de classe $\boldsymbol{\mathcal{C}^{1}}$ sur $\R^{n}$ si et seulement si $f$ admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{n}$ qui sont aussi continues sur $\R^{n}$.

Théorème : Opérations sur les fonctions de classe C^1

  • On suppose que $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Soit $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$. Soit $\varphi$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un intervalle $I$ de $\R$ contenant $f(\R^{n})$. Alors, les fonctions $\lambda f+\mu g$, $f\times g$, $\dfrac{f}{g}$ (dans le cas où $g$ ne s'annule pas sur $\R^{n}$) et $\varphi\circ f$ sont de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$.
  • En particulier, toute fonction polynôme est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$.

Exemples

  1. Justifier que la fonction $f$ définie sur $\R^{n}$ par $f(x_{1},\dots,x_{n})={}^t\!XAX$ où $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$.
  2. Montrer que la fonction $(x,y,z)\mapsto\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{3}\setminus\{(0,0,0)\}$.

Développement limité à l'ordre 1

Définition

On suppose que $f$ admet un gradient en $A$. On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de $\boldsymbol{A}$ si et seulement si l'une des trois propositions suivantes est vérifiée:

  • il existe une fonction $\varepsilon$ continue en $O$ telle que $\varepsilon(O)=0$ et
    $$\ds f(A+H)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{OH}\right\rangle +\|\vv{OH}\|\varepsilon\left(H\right)$$
  • il existe une fonction $\varepsilon$ continue en $\vv{0}$ telle que $\varepsilon(\vv{0})=0$ et
    $$\ds f(a+h)=f(a)+\left\langle \nabla f(a),h\right\rangle +\|h\|\varepsilon\left(h\right)$$
  • il existe une fonction $\varepsilon$ continue en $A$ telle que $\varepsilon(A)=0$ et
    $$\ds f(M)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{AM}\right\rangle +\|\vv{AM}\|\varepsilon\left(M\right)$$

Exemples

  1. Déterminer un développement limité à l'ordre 1 en $(1,-2,3)$ de la fonction $(x,y,z)\mapsto\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})$.
  2. Soit $q$ la fonction définie sur $\R^{3}$ par :
    $$q(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+2\alpha xy+2\beta xz+2\gamma yz$$Montrer que $q$ admet un développement limité à l'ordre 1 en tout point $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$.

Théorème [HP?]

  • Une combinaison linéaire (finie) de fonctions admettant un développement limité à l'ordre 1 au voisinage du point $A$ est une fonction admettant elle-même un développement limité à l'ordre 1 au voisinage du point $A$.
  • Un produit (fini) de fonctions admettant un développement limité à l'ordre 1 au voisinage du point $A$ est une fonction admettant elle-même un développement limité à l'ordre 1 au voisinage du point $A$.
  • En particulier, toute fonction polynôme admet un développement limité à l'ordre 1 en tout point de $\R^{n}$ (et donc aussi toutes les fonction affines).

Théorème

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ alors elle admet un développement limité en tout point $A$ de $\R^{n}$ et ce développement limité est unique.

Remarque

Si $f$ admet un développement limité à l'ordre 1 en tout point de $\R^{n}$ alors $f$ n'est pas nécessairement de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$, par contre $f$ est nécessairement continue sur $\R^{n}$. L'existence d'un développement limité est donc plus contraignante que l'existence du gradient puisque dans le premier cas, on est assuré de la continuité alors que dans le second cas, on n'a aucune assurance.

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