Dans ce paragraphe et les suivants, toutes les fonctions seront supposées définies et continues sur $\R^{n}$.
Définition
Remarque : Interprétation graphique
Lorsqu'il existe, le réel $\partial_{i}(f)(A)$ est la pente de la tangente en $A$ du chemin sur la surface représentative de $f$ dans la direction de l'axe de coordonné numéro $i$. Géométriquement, on découpe la surface « verticalement », en passant par $A$ et parallèlement à « l'axe » $x_{i}=1$ (l'axe est en fait un hyperplan affine).
function z=f(x,y) z=1+2/(1+x^2+2*y^2) endfunction xmin=-2 ; xmax=2 ; xpas=0.05 ; ymin=-2 ; ymax=2 ; ypas=0.05 plot3d([xmin,xmax],[ymin,ymax],[0,0;0,0]) // plan de coordonnées plot2d([xmin-0.5,xmax+0.5],[0,0]) // axe (Ox) plot2d([0,0],[ymin-0.5,ymax+0.5]) // axe (Oy) param3d([0,0],[0,0],[-0.5,f(0,0)+0.5]) // axe (Oz) x=[xmin:xpas:xmax] ; y=[ymin:ypas:ymax] ; z=feval(x,y,f) ; plot3d(x,y,z) //surface de f A=[0.8,-0.5] ; zA=f(A(1),A(2)) param3d([A(1),A(1)],[A(2),A(2)],[0,zA]) // point A dans le plan de départ et sur la surface contour(x,y,z,[zA,zA],flag=[1,2,4]) // ligne de niveau k=f(A) u=[1,0] ; h=xpas/10 ; t=[xmin-A(1):h:xmax-A(1)] ; Cx=zeros(t) ; Cy=zeros(t) ; Cz=zeros(t) for k=1:length(t) Cx(k)=A(1)+t(k)*u(1) ; Cy(k)=A(2)+t(k)*u(2) ; Cz(k)=f(Cx(k),Cy(k)) end param3d(Cx,Cy,Cz) // chemin passant par A dans la direction de (Ox) d1fA=(f(A(1)+h,A(2))-zA)/h param3d([A(1),A(1)+1],[A(2),A(2)],[zA,zA+1*d1fA]) // tangente selon (Ox) u=[0,1] ; h=ypas/10 ; t=[ymin-A(2):h:ymax-A(2)] ; Cx=zeros(t) ; Cy=zeros(t) ; Cz=zeros(t) for k=1:length(t) Cx(k)=A(1)+t(k)*u(1) ; Cy(k)=A(2)+t(k)*u(2) ; Cz(k)=f(Cx(k),Cy(k)) end param3d(Cx,Cy,Cz) // chemin passant par A dans la direction de (Oy) d2fA=(f(A(1),A(2)+h)-f(A(1),A(2)))/h param3d([A(1),A(1)],[A(2),A(2)+1],[zA,zA+1*d2fA]) // tangente selon (Oy) plot2d([A(1),A(1)+d1fA],[A(2),A(2)+d2fA]) // gradient depuis le point A
Définition
Lorsque $f$ admet une dérivée partielle par rapport à toutes les variables au point $A$, on appelle gradient de $f$ au point $A$ le vecteur de $\R^{n}$ : $$\nabla f(A)=\begin{pmatrix}\partial _1(f)(A) \\ \vdots \\ \partial _n(f)(A) \end{pmatrix}$$ (le symbole $\nabla$ se prononce « nabla »).
Exemples
Les fonctions suivantes admettent-elles un gradient en tout point de $\R^{n}$ ?
Remarques
Théorème : Opérations sur les dérivées partielles au point A
Soit $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$ et $\varphi$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ qui contient $f(\R^{n})$ qui est dérivable en $f(A)$.
Définition
On suppose que $f$ admet des dérivées partielles par rapport à la $i$-ème variable en tout point de $\R^{n}$. On appelle fonction dérivée partielle de $f$ sur $\R^{n}$ par rapport à la $i$-ème variable la fonction : $$\begin{array}{llllc} \partial_{i}(f) & \colon & \R^n & \to & \R \\ & & A & \mapsto & \partial_{i}(f)(A) \end{array}$$
Théorème : Opération sur les fonctions dérivées partielles
Exemples