Définition: Droite de l'espace affine
Soit $A$ un point de $\R^{n}$ et $\vv{u}$ un vecteur non nul de $\R^{n}$.
Définition : Chemin rectiligne sur une surface de classe C^1
Soit $A$ un point de $\R^{n}$. Soit $\vv{u}=\alpha_{1}\vv{e_1}+\dots+\alpha_{n}\vv{e_n}$. Pour tout réel $t$, on pose :
$$g(t)=f(A+t\vv{u})$$On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Alors, $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R$ et on a :
$$\ds\forall t\in\R,\; g'(t)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A+t\vv{u})\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}\partial_{i}(f)(A+t\vv{u}})$$En particulier :
$$\ds g'(0)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A)\right\rangle$$
Définition : Dérivée directionnelle
Lorsque $\vv{u}$ est unitaire, ce réel $g'(0)$ est appelé dérivée de $\boldsymbol{f}$ en le point $\boldsymbol{A}$ dans la direction du vecteur $\boldsymbol{\vv{u}}$ :
$$\ds f'_{\vv{u}}(A)=g'(0)=\lim_{t\to0}{\frac{f(A+t\vv{u})-f(A)}{t}}$$
Exemples
Remarques
Théorème
Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ et $A$ un point de $\R^{n}$.
Remarque : Interprétation du gradient en un point A
Le vecteur $\nabla f(A)$ donne la direction de la ligne de « plus grande pente » à la surface $S_{f}$ au point $(A,f(A))$ (physiquement, si on lâche un objet en $(A,f(A))$, il va partir dans la direction et le sens de $-\nabla f(A)$ car il tombe).