Théorème : Intégration par parties
Soit $u$ et $v$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$. Pour tout $(a,b)\in I^{2}$, on a :
$$\ds\int_{a}^{b}{u'(t)v(t)\mathrm{d} t}=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_{a}^{b}{u(t)v'(t)\mathrm{d} t}$$
Exemples
Théorème : Changement de variable
Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et $u$ une bijection de $J$ dans $I$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $J$. Alors :
$$\ds\forall(\alpha,\beta)\in J^{2},\;\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(t))u'(t)\mathrm{d} t}=\int_{u(\alpha)}^{u(\beta)}{f(x)\mathrm{d} x}$$(la bijectivité n'est pas nécessaire dans cette première égalité) ou encore :
$$\ds\forall(a,b)\in I^{2},\;\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}{f(u(x))u'(x)\mathrm{d} x}$$Les changements de variable non affines sont fournis.
Applications
Exemples