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Bases orthonormales

Dans ce paragraphe, $(E,\left\langle .,.\right\rangle )$ désigne un espace euclidien de dimension finie $n$. On identifie $\mathcal{M}_{1}(\R)$ avec $\R$.

Théorème : Existence de bases orthonormales, coordonnées dans une telle base

  • Tout espace espace euclidien admet une base orthonormale.
  • Si $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ est une base orthonormale de $E$ alors les coordonnées, dans cette base, de tout vecteur $x$ de $E$ sont données par : $$\ds\vv{x}=\sum_{i=1}^{n}{\left\langle \vv{x},\vv{e_i}\right\rangle \vv{e_i}}=\left\langle \vv{x},\vv{e_1}\right\rangle \vv{e_1}+\dots+\left\langle \vv{x},\vv{e_n}\right\rangle \vv{e_n}$$ Ainsi, dans cette base orthonormale, la norme d'un tel vecteur $\vv{x}$ est donnée par : $$\ds\|\vv{x}\|^{2}=\sum_{i=1}^{n}{\left\langle \vv{x},\vv{e_i}\right\rangle ^{2}}$$ donc : $$\ds\|\vv{x}\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{\left\langle \vv{x},\vv{e_i}\right\rangle ^{2}}}=\sqrt{\left\langle \vv{x},\vv{e_1}\right\rangle ^{2}+\dots+\left\langle \vv{x},\vv{e_n}\right\rangle ^{2}}$$

Exemples

  1. Déterminer une base orthonormale $(P_{0},P_{1},P_{2})$ de $\R_2[X]$ pour le produit scalaire : $\ds\int_{0}^{1}{P(t)Q(t)\mathrm{d}t}$.
  2. Déterminer les coordonnées de $1+X+X^{2}$ dans cette base.

Théorème

Toute famille orthonormale de $E$ peut être complétée en une base orthonormale de $E$.

Théorème : Expression matricielle du produit scalaire

Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ une base orthonormale de $E$. Soit $(\vv{x},\vv{y})$ un couple de vecteurs de $E$ dont les coordonnées dans la base $\mathcal{B}$ sont les matrices colonnes respectives $X$ et $Y$. Alors : $$\ds\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle ={}^t\!XY\qquad\text{et}\qquad\|\vv{x}\|^{2}={}^t\!XX$$

Exemples

Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ une base de $E$. On définit la matrice $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ par : $$\ds A=\left(\left\langle \vv{e_i},\vv{e_j}\right\rangle \right)_{(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}}$$ Pour tout vecteur $\vv{x}\in E$, on note $X$ la matrice colonne de ses coordonnées dans la base $\mathcal{B}$.

  1. Montrer que : $$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle ={}^t\!XAY$$
  2. Soit $\mathcal{B}'=(\vv{e_1'},\dots,\vv{e_n'})$ une autre base de $E$ et $A'=\left(\left\langle \vv{e_i'},\vv{e_j'}\right\rangle \right)_{(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}}$. On note aussi $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$. Montrer que : $$A'={}^t\!PAP$$

Théorème : Changement de base orthonormale

Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ et $\mathcal{B}'=(\vv{e_1'},\dots,\vv{e_n'})$ deux bases orthonormales. Soit $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$. Alors, la matrice de passage de la base $\mathcal{B}'$ à la base $\mathcal{B}$ est la matrice : $$P^{-1}={}^t\!P$$

Définition

Une matrice carrée $P$ est dite orthogonale si et seulement si elle est inversible et $P^{-1}={}^t\!P$.

Remarque
Si $P$ est une matrice orthogonale alors ${}^t\!P$ l'est aussi.

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