Idée de la situation dans un cas particulier : $X_{n}\hookrightarrow\mathcal{E}(1)=\gamma(1)$.

Notons $S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}$. Le théorème de stabilité par somme indépendante prouve que : $S_{n}\hookrightarrow\gamma(n)$. Soit $x\in\R$. On a :
$$\ds F_{\bar{X}_{n}^{*}}(x)=\mathbb{P}(\bar{X}_{n}^{*}\leqslant x)=\mathbb{P}(S_{n}\leqslant x\sqrt{n}+n)=F_{S_{n}}(x\sqrt{n}+n)$$Par composition, $F_{\bar{X}_{n}^{*}}$ est continue sur $\R$ et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R\setminus\left\{ -\sqrt{n}\right\}$ (puisque $x\sqrt{n}+n=0\iff x=-\sqrt{n}$). Par dérivation :
$$\begin{array}{rcl} f_{\bar{X}_{n}^{*}}(x) & = & \sqrt{n}f_{S_{n}}(x\sqrt{n}+n) \\ & = & \begin{cases} 0 & \text{si }x\leqslant-\sqrt{n}\\ \ds\frac{\sqrt{n}(x\sqrt{n}+n)^{n-1}}{\Gamma(n)}\mathrm{e}^{-(x\sqrt{n}+n)} & \text{si }x>-\sqrt{n} \end{cases} \\ & = & \begin{cases} 0 & \text{si }x\leqslant-\sqrt{n}\\ \ds\frac{\sqrt{n}n^{n}\left(1+\frac{x}{\sqrt{n}}\right)^{n}}{(n-1)!(n+x\sqrt{n})}\mathrm{e}^{-n}\mathrm{e}^{-x\sqrt{n}} & \text{si }x>-\sqrt{n} \end{cases} \\ & = & \begin{cases} 0 & \text{si }x\leqslant-\sqrt{n}\\ \ds\frac{\sqrt{n}n^{n}\left(1+\frac{x}{\sqrt{n}}\right)^{n}}{n!\left(1+\frac{x}{\sqrt{n}}\right)}\mathrm{e}^{-n}\mathrm{e}^{-x\sqrt{n}} & \text{si }x>-\sqrt{n} \end{cases} \end{array}$$Alors :
$$\begin{array}{rcl} f_{\bar{X}_{n}^{*}}(x) & \underset{n\to+\infty}{\sim} & \ds\frac{\sqrt{n}n^{n}\mathrm{e}^{n\left[\frac{x}{\sqrt{n}}-\frac{x^{2}}{2n}+o(\frac{1}{n})\right]}}{n!\times1}\mathrm{e}^{-n}\mathrm{e}^{-x\sqrt{n}} \\ & \underset{n\to+\infty}{\sim} & \ds\frac{\ds\sqrt{n}\frac{n^{n}}{\mathrm{e}^{n}}\mathrm{e}^{x\sqrt{n}}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\mathrm{e}^{-x\sqrt{n}}}{n!} \\ & \underset{n\to+\infty}{\sim} & \ds\frac{\sqrt{n}\frac{n^{n}}{\mathrm{e}^{n}}}{n!}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \end{array}$$En admettant la formule de Stirling :
$$\ds n! \underset{n\to+\infty}{\sim} \frac{n^{n}}{\mathrm{e}^{n}}\sqrt{2\pi n}$$on obtient :
$$\ds f_{\bar{X}_{n}^{*}}(x) \underset{n\to+\infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}=\varphi(x)$$En admettant encore que l'on peut « intégrer cet équivalent », on obtient :
$$\ds\forall x\in\R,\;F_{\bar{X}_{n}^{*}}(x) \underset{n\to+\infty}{\sim} \Phi(x)$$d'où la convergence en loi.