Soit $k\in\N$. Pour tout entier $n\geqslant\max\left\{ k,\lambda\right\} $, on a :
$$\ds\mathbb{P}(X_{n}=k)=\binom{n}{k}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}=\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}\times\frac{\lambda^{k}}{n^{k}}\times\frac{n^{k}}{(n-\lambda)^{k}}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}$$

Or, on sait que $\ds\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}\mathrm{e}^{a}$ donc :
$$\ds\mathbb{P}(X_{n}=k)\underset{n\to+\infty}{\sim}\frac{n^{k}}{k!}\times\frac{\lambda^{k}}{n^{k}}\times\frac{n^{k}}{n^{k}}\times\mathrm{e}^{-\lambda}=\mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}=\mathbb{P}(X=k)$$

On en déduit donc que $X_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}X$.