Compte tenu du degré de $X-a$, la division euclidienne de $P$ par $X-a$ donne : $$\exists!Q\in\mathbb{K}[X]\;/\;P(X)=(X-a)Q(X)+P(a)$$ On en déduit immédiatement que $(X-a)\mid P$ si et seulement si $P(a)=0$.