Définition : Intégrale généralisée
Exemples
Remarques
Théorème : Intégrale faussement impropre
Si $f$ n'est pas définie en $b\in\R$ mais est prolongeable par continuité en $b$ (fonction notée alors $\tilde{f}$) alors l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ converge et : $$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{a}^{b}{\tilde{f}(t)\mathrm{d} t}$$
Exemple
Montrer que les intégrales $\ds\int_{0}^{1}{\frac{\ln(1-x)}{x}\mathrm{d} x}$ et $\ds\int_{0}^{1}{t\ln(t)\mathrm{d} t}$ convergent. Les calculer si possible.
Définition : Intégrale d'une fonction avec points de discontinuité
Soit $(a,b)\in\bar{\R}^{2}$ tel que $a<b$. On suppose que $f$ est continue sur $\left]a,b\right[$ sauf en un nombre finis de points $a_{1},\dots,a_{n}$ tels que : $$a=a_{0}<a_{1}<\dots<a_{n}<b=a_{n+1}$$On dit que $f$ admet une intégrale $]a,b[$ ou bien que l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ converge si et seulement si, pour tout $i\in\llbracket0,n\rrbracket$, l'intégrale $\ds\int_{a_{i}}^{a_{i+1}}{f(t)\mathrm{d} t}$, impropre en les deux bornes $a_{i}$ et $a_{i+1}$, est convergente. En cas de convergence, on a : $$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\sum_{i=0}^{n}{\int_{a_{i}}^{a_{i+1}}{f(t)\mathrm{d} t}}$$
Exemples
Théorème : Primitives et intégrales
Exemple
Étudier la fonction $\ds G\colon x\mapsto\int_{x}^{+\infty}{\mathrm{e}^{-t^{2}}\mathrm{d} t}$.