Théorème
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$.
Remarques
Exemple
On lance indéfiniment une pièce de monnaie truquée de sorte que le côté pile est obtenu avec la probabilité $p$ (avec $0<p<1$) et le côté face est obtenu avec la probabilité $q=1-p$. On note $X$ le rang du premier pile obtenu et $Y$ celui du deuxième.
Exemple
Soit $N$ une variable aléatoire de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ et soit $X$ une variable aléatoire telle que la loi de $X$ sachant $[N=n]$ est la loi $\mathcal{U}(\llbracket n,2n\rrbracket)$. Déterminer la loi de $X$. Calculer son espérance si elle existe.
Exemple
On considère une urne contenant $n$ jetons numérotés de 1 à $n$ (avec $n\geqslant2$). On prélève tous les jetons un par un au hasard et sans remise. Cette expérience est modélisée par un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Soit $(u_{1},\dots,u_{n})\in\Omega$ un résultat de cette expérience. Pour $i\in\llbracket2,n\rrbracket$, on note $M_{i}$ la variable aléatoire qui prend la valeur 0 lorsque $u_{i}<u_{i-1}$ et la valeur 1 lorsque $u_{i}>u_{i-1}$.