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Fonction de transfert

Théorème : Théorème de transfert, 1ère partie

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Soit $g\colon U\to\R$ où $X(\Omega)\times Y(\Omega)\subset U\subset\R^{2}$. On pose : $Z=g(X,Y)$. Alors $Z$ est une variable aléatoire dont la loi est donnée par : $$\ds Z(\Omega)=\left\{ g(x,y)\mid(x,y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)\right\}$$ $$\ds\forall z\in Z(\Omega),\;\mathbb{P}(Z=z)=\sum_{\substack{x\in X(\Omega) \\ y\in Y(\Omega) \\ g(x,y)=z}}{\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])}$$ De plus : $$\ds\mathcal{A}_{Z}\subset\mathcal{A}_{(X,Y)}$$ En particulier, $X+Y$, $XY$, $\inf(X,Y)$ et $\sup(X,Y)$ sont des variables aléatoires.

Exemples

  1. On lance indéfiniment une pièce de monnaie truquée de sorte que le côté pile est obtenu avec la probabilité $p$ (avec $0<p<1$) et le côté face est obtenu avec la probabilité $q=1-p$. On note $X$ le rang du premier pile obtenu et $Y$ celui du deuxième.
    1. Déterminer la loi de $Y-X$, son espérance et sa variance.
    2. Montrer que $X$ et $Y-X$ sont indépendantes.
  2. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes d'un même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ et suivant toute la même loi $\mathcal{G}(p)$.
    1. Déterminer la loi de la variable aléatoire $S=\sup(X,Y)$. Admet-elle une espérance ?
    2. Déterminer la loi de la variable aléatoire $I=\inf(X,Y)$. Admet-elle une espérance ?
    3. Déterminer la loi de la variable aléatoire $Z=|X-Y|$.

Théorème : Théorème de transfert, 2nde partie

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Soit $g\colon U\to\R$ où $X(\Omega)\times Y(\Omega)\subset U\subset\R^{2}$. On pose $Z=g(X,Y)$.

  • La variable aléatoire $Z$ admet une espérance si et seulement si la série $\ds\sum_{(x,y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)}{g(x,y)\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])}$ converge absolument et dans ce cas, on a :
    $$\ds\mathbb{E}(Z)=\sum_{(x,y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)}{g(x,y)\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])}$$
  • Si $X$ et $Y$ admettent une espérance alors, pour tout couple $(\lambda,\mu)$ de réels, la variable aléatoire $\lambda X+\mu Y$ admet une espérance et on a :
    $$\ds\mathbb{E}(\lambda X+\mu Y)=\lambda\mathbb{E}(X)+\mu\mathbb{E}(Y)$$
  • Si $X$ et $Y$ admettent une espérance et sont indépendantes alors $XY$ admet une espérance et on a :
    $$\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$$

Exemple

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes d'un même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ et suivant toute la même loi $\mathcal{G}(p)$. On pose : $S=\sup(X,Y)$ et $I=\inf(X,Y)$.

  1. Montrer que la variable aléatoire $SI$ admet une espérance et la calculer.
  2. Montrer que la variable aléatoire $S+I$ admet une espérance et la calculer.
  3. Montrer que la variable aléatoire $S$ admet une espérance et la calculer.
  4. Montrer que la variable aléatoire $|X-Y|$ admet une espérance et la calculer.
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