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Somme de deux variables aléatoires à densité indépendantes

Théorème

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité indépendantes admettant respectivement $f$ et $g$ pour densité.

  • Pour tout réel $x$, les deux intégrales $\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)g(x-t)\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x-u)g(u)\mathrm{d} u}$ sont de même nature. De plus, en cas de convergence, elles sont égales.
  • (admis) Sous réserve de convergence, on pose :
    $$\ds\forall x\in\R,\; h(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)g(x-t)\mathrm{d} t}=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x-u)g(u)\mathrm{d} u}$$Si $h$ est définie et continue sur $\R$ sauf éventuellement en un nombre fini de points (auquel cas, on choisit pour $h(x)$ une valeur positive arbitraire afin de définir la fonction $h$ sur $\R$) alors $h$ est une densité de la variable aléatoire $X+Y$.
  • Si $f$ ou $g$ est bornée sur $\R$ alors la fonction $h$ est définie et continue sur $\R$ donc est une densité de $X+Y$.

Définition : Produit de convolution ou loi de la somme

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité indépendantes admettant respectivement $f$ et $g$ pour densité. La fonction $h$ précédente est appelée produit de convolution des fonctions $f$ et $g$ et se note $h=f*g$.

Remarques

Exemples

  1. Vérifier que $\ds f\colon x\mapsto1\!\!1_{[0,1]}(x)$ et $\ds g\colon x\mapsto\frac{1}{\pi(1+x^{2})}$ sont des densités de probabilité. Déterminer les fonctions $h=f*g$ puis $g_{2}=g*g$.
  2. Soit $X\hookrightarrow\mathcal{U}([0,1])$ et $Y$ de densité donnée par $\ds g(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}$ si $t\in\left]0,1\right[$ et $g(t)=0$ sinon. On suppose que $X$ et $Y$ sont indépendantes. Déterminer la loi de $X+Y$. Cette variable aléatoire admet-elle une espérance ?
  3. 3. Soit $X\hookrightarrow\mathcal{E}(1)$ et $Y\hookrightarrow\mathcal{E}(1)$ indépendantes. Déterminer la loi de $X+Y$.
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