Théorème
On suppose que l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ impropre en $b$ est convergente. Alors, pour toute suite $(u_{n})_{n\in\N}$ d'éléments de $[a,b[$ telle que $u_{n}\xrightarrow[n\to+\infty]{} b$, on a :
$$\ds\int_{a}^{u_{n}}{f(t)\mathrm{d} t}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$
Remarques
Théorème : Relation de Chasles
On suppose que $f$ est continue sur $[a,b[$. Alors, pour tout réel $c\in[a,b[$, les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{c}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ sont de la même nature. De plus, en cas de convergence de l'une de ces intégrales, on a :
$$\ds\forall c\in[a,b[,\;\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{a}^{c}{f(t)\mathrm{d} t}+\int_{c}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$
Définition
On suppose que l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ impropre en $b$ est convergente. Pour tout réel $x\in[a,b[$, on appelle reste de l'intégrale impropre sur l'intervalle $[x,b[$ le réel $\ds\int_{x}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}-\int_{a}^{x}{f(t)\mathrm{d} t}$.
Théorème
On suppose que l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ impropre en $b$ est convergente. Alors le reste de l'intégrale tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $b$ :
$$\ds\lim_{x\to b}{\int_{x}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}}=0$$
Théorème : Linéarité
On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b[$. Soit $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$. Si les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$ convergent alors l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{(\lambda f(t)+\mu g(t))\mathrm{d} t}$ converge et on a :
$$\ds\int_{a}^{b}{(\lambda f(t)+\mu g(t))\mathrm{d} t}=\lambda\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}+\mu\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$$
Remarque
L'intégrale de la combinaison linéaire peut être convergente sans qu'aucune des deux intégrales (de $f$ et de $g$) ne converge.
Théorème : Positivité et croissance
On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b[$.
Exemple : Inégalité de Cauchy-Schwarz
On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b[$ et que les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{f(t)g(t)\mathrm{d} t}$, $\ds\int_{a}^{b}{f(t)^{2}\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{a}^{b}{g(t)^{2}\mathrm{d} t}$ convergent. Démontrer que :
$$\ds\left|\int_{a}^{b}{f(t)g(t)\mathrm{d} t}\right|\leqslant\sqrt{\int_{a}^{b}{f(t)^{2}\mathrm{d} t}}\times\sqrt{\int_{a}^{b}{g(t)^{2}\mathrm{d} t}}$$À quelle condition nécessaire et suffisante (portant sur $f$ et $g$) a-t-on l'égalité ?
Théorème : Intégration par parties
Nous n'énoncerons pas de théorème particulier. Dans la pratique, pour effectuer une intégration par parties sur une intégrale impropre, on se ramènera d'abord à une intégrale sur un segment (cf la définition de la convergence de l'intégrale impropre) puis on effectuera l'intégration par parties proprement dite et enfin on passera à la limite sur la(les) borne(s) impropre(s) de l'intégrale.
Exemple
Convergence et calcul de l'intégrale : $\ds\int_{0}^{+\infty}{t^{n}\mathrm{e}^{-t}}\mathrm{d} t$ pour tout entier naturel $n$.
Théorème : Changement de variable
On suppose que $f$ est continue sur $]a,b[$ ($a$ et $b$ pouvant être infinis). Soit $u\colon\left]\alpha,\beta\right[\to\left]a,b\right[$ une application de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $]\alpha,\beta[$ et bijective de $]\alpha,\beta[$ dans $]a,b[$. Alors, les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(x))u'(x)\mathrm{d} x}$ sont de la même nature. De plus, en cas de convergence et si $u$ est strictement croissante sur $]\alpha,\beta[$, on a :
$$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(x))u'(x)\mathrm{d} x}$$Dans le cas où $u$ est strictement décroissante, il convient de permuter soit les bornes $a$ et $b$ soit les bornes $\alpha$ et $\beta$.
Exemples
Remarques