Définition
Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d'un espace vectoriel $E$.
// droite F de projection // F=Vect(u) avec u=(1,2) u=[3,6] plot2d([-u(1),u(1)],[-u(2),u(2)],3) // droite G de direction de projection // G=Vect(v) avec v=(-1,2) v=[6,3] plot2d([-v(1),v(1)],[-v(2),v(2)],2) // vecteur x à projeter sur P parallèlement à D // x=(1,1) x=[3,-2] plot2d([0,x(1)],[0,x(2)],5) // trace pour règle du parallélogramme plot2d([x(1)-u(1),x(1)+u(1)],[x(2)-u(2),x(2)+u(2)]) plot2d([x(1)-v(1),x(1)+v(1)],[x(2)-v(2),x(2)+v(2)])
// plan P de projection // P=Vect(i,j) plot3d([-1,1],[-1,1],[0,0;0,0]) // droite D de direction de projection // D=Vect(u) avec u=(1,2,3)=1.i+2.j+3.k u=[1,2,3] ; tmax=1/max(abs(u(1:2))) t=[-tmax,tmax] ; param3d(t*u(1),t*u(2),t*u(3)) // vecteur x à projeter sur P parallèlement à D // x=(-1/2,1/2,1/2)=(-1/2).i+1/2.j+1/2.k x=[-1/2,1/2,1/2] t=[0,1] ; param3d(t*x(1),t*x(2),t*x(3)) // trace pour règle du parallélogramme t=[-tmax,tmax] param3d(x(1)+t*u(1),x(2)+t*u(2),x(3)+t*u(3))
Théorème : Propriétés des projecteurs et des symétries
Soit $E=F\oplus G$.
Exemple
Soit $E=\R^{2}$. Déterminer deux projecteurs $f$ et $g$ de $E$ tels que : $$g\ne\Theta_{E}\qquad f\circ g=\Theta_{E}\qquad f+g\in\mathcal{GL}(E)$$
Théorème : Caractérisation d'un projecteur et d'une symétrie
Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Alors :
Exemple
Soit $E=\R_n|X]$ avec $n\geqslant3$. Soit $A=(X-1)(X-2)$. Pour tout élément $P$ de $E$, on note $u(P)$ le reste dans la division euclidienne de $P$ par $A$. Montrer que $u$ est un endomorphisme de $E$ puis que $u$ est un projecteur de $E$. Déterminer le noyau et l'image de $u$.