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Matrice d'une application linéaire

Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur $\K$ de dimensions respectives $n$ et $p$. Soit $\mathcal{B}_{E}=\left(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n}\right)$ une base de $E$. Soit $\mathcal{B}_{F}=\left(\vv{f_1},\dots,\vv{f_p}\right)$ une base de $F$.

Définition

On appelle matrice de l'application linéaire $u\in\mathcal{L}(E,F)$ dans les bases $\mathcal{B}_{E}$ et $\mathcal{B}_{F}$ la matrice, notée $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)\in\mathcal{M}_{p,n}(\K)$, dont les colonnes sont les coordonnées dans $\mathcal{B}_{F}$ des images par $u$ des vecteurs de la base $\mathcal{B}_{E}$. Autrement dit, en posant : $$\ds \forall j\in\llbracket1,n\rrbracket,\; u(\vv{e_j})=\sum_{i=1}^{p}{\alpha_{i,j}\vv{f_i}}$$ alors : $$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)=(\alpha_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant p \\ 1\leqslant j\leqslant n}}$$ Dans le cas où $F=E$ (c'est à dire que $u\in\mathcal{L}(E)$) et $\mathcal{B}_{F}=\mathcal{B}_{E}$, on note plus simplement la matrice $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)$.

Exemples

  1. Soit $A$ la matrice d'un endomorphisme $u$ d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie dans une base $\mathcal{B}$.
    1. Interpréter la situation où $A$ admet une colonne nulle.
    2. Interpréter la situation où la colonne $i$ de $A$ ne comporte que des 0 sauf en ligne $i$.
    3. Interpréter la situation où $A$ admet deux colonnes colinéaires.
  2. On considère l'application identique de $\R^{n}$ ainsi que la base canonique $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$.
    1. Préciser la matrice de l'application identique de $\R^{n}$ dans $\mathcal{B}$.
    2. Préciser la matrice de l'application identique dans les bases $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'=(\vv{e_n},\dots,\vv{e_1})$.
    3. Quelle est la matrice de l'application nulle de $\R^{n}$ dans n'importe quelle base ?
  3. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n\geqslant2$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ de dimension $r$ telle que $1\leqslant r\leqslant n-1$. Soit $G$ un supplémentaire de $F$ dans $E$. Soit $\mathcal{B}_{F}$ (resp. $\mathcal{B}_{G})$ une base de $F$ (resp. $G$) et $\mathcal{B}$ la concaténation de ces deux bases. Soit $u$ un endomorphisme de $E$.
    1. On suppose que $F$ est stable par $u$. Que dire de la forme de la matrice de $u$ dans la base $\mathcal{B}$ ?
    2. On suppose que $G$ est stable par $u$. Que dire de la forme de la matrice de $u$ dans la base $\mathcal{B}$ ?
    3. On suppose que $F$ et $G$ sont stables par $u$. Que dire de la forme de la matrice de $u$ dans la base $\mathcal{B}$ ?
  4. Dans $\R^{3}$ muni de sa base canonique $(\vv{e_1},\vv{e_2},\vv{e_3})$, déterminer l'endomorphisme $u$ de $\R^3$ qui transforme $\mathrm{Vect}(\vv{e_1}+\vv{e_2}+\vv{e_3},\vv{e_1}+\vv{e_2}-\vv{e_3})$ en $\left\{\vv{0}\right\}$ et $\vv{e_1}$ en son double.
  5. Soit $u(P)=P-3(X-1)P'+2(X+1)(X-2)P''$ pour tout $P\in\R_3[X]$. Déterminer la matrice de $u$ dans la base canonique de $\R_3[X]$.
  6. Soit $u(P)$ le quotient et $v(P)$ le reste dans la division euclidienne de $P\in\R_3[X]$ par $X+1$. Déterminer la matrice de $u$ puis celle de $v$ dans la base canonique de $\R_3[X]$.
  7. À toute matrice $M=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\R)$, on associe la matrice : $$u(M)=\begin{pmatrix}a+2d & -a+3b-5c \\ -b+4c-7d & a+b+c+d \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\R)$$ Déterminer la matrice de $u$ dans la base canonique de $\mathcal{M}_2(\R)$.

Théorème : Autre interprétation de la matrice de passage

On a : $$P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(\mathrm{Id}_{E})$$

Théorème : Lien entre les opérations sur les matrices et celles sur les applications linéaires

  • L'application $u\in\mathcal{L}(E,F)\mapsto\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)\in\mathcal{M}_{p,n}(\K)$ est un isomorphisme de $\K$-espaces vectoriels qui conserve le rang, c'est à dire que : $$\ds\forall(\lambda,\mu)\in\K^{2},\;\forall(u,v)\in\mathcal{L}(E,F)^{2},\;\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(\lambda u+\mu v)=\lambda\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)+\mu\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(v)$$ $$\ds\forall A\in\mathcal{M}_{p,n}(\K),\;\exists!u\in\mathcal{L}(E,F)\;/\; A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)$$ $$\ds\forall u\in\mathcal{L}(E,F),\;\mathrm{rg}(u)=\mathrm{rg}\left(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)\right)$$ $$\dim(\mathcal{L}(E,F))=\dim(\mathcal{M}_{p,n}(\K))=n\times p=\dim(E)\times\dim(F)$$
  • Si $u\in\mathcal{L}(E,F)$ et $v\in\mathcal{L}(F,G)$ ($G$ de dimension finie et admettant une base $\mathcal{B}_{G}$) alors : $$\ds\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{G},\mathcal{B}_{E}}(v\circ u)=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{G},\mathcal{B}_{F}}(v)\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)$$
  • En conséquence :
    • Si $u\in\mathcal{L}(E)$ alors : $$\ds\forall k\in\N,\;\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u^{k})=\left[\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)\right]^{k}$$
    • Ainsi, $Q\in\K[X]$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $Q$ est un polynôme annulateur de $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)$.
    • $u\in\mathcal{GL}(E)$ si et seulement si $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}',\mathcal{B}_{E}}(u)\in\mathcal{GL}_{n}(\K)$ et on a : $$\ds\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E},\mathcal{B}_{E}'}(u^{-1})=\left[\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}',\mathcal{B}_{E}}(u)\right]^{-1}$$

Remarque

En fait, la définition des opérations sur les matrices découlent de ces règles « naturelles » de calcul.

Exemple

Déterminer $a\in\R$ tel que $M=\begin{pmatrix}a & a\\ a & a \end{pmatrix}$ est la matrice d'une application linéaire de $u$ de $\R^{2}$ admettant $X^{2}-X$ pour polynôme annulateur.

Théorème

Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$ et $A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)$. Soit $X$ la matrice colonne des coordonnées d'un vecteur $\vv{x}\in E$ dans la base $\mathcal{B}_{E}$. Alors $AX$ est la matrice colonne des coordonnées de $u(\vv{x})$ dans la base $\mathcal{B}_{F}$.

Définition

Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$. Par analogie avec l'application linéaire $u\colon\R^{p}\to\R^{n}$ représentée par $A$ dans les bases canoniques de $\R^{p}$ et $\R^{n}$, on a :
$$\mathrm{Ker}(A)=\left\{X\in\mathcal{M}_{p,1}(\K)\mid AX=0\right\}$$$$\mathrm{Im}(A)=\left\{ Y\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)\mid\exists X\in\mathcal{M}_{p,1}(\K)\;/\; AX=Y\right\}$$

Exemple

Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\R)$. Montrer que $\mathrm{Ker}(A)=\mathrm{Ker}({}^t\!AA)$.

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