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Cas des fonctions de signe variable

Définition

On suppose que $f$ est continue sur $\left[a,b\right[$.

  • On dit que l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ est absolument convergente (ou bien qu'elle converge absolument) si et seulement si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{|f(t)|\mathrm{d} t}$ converge.
  • On dit que l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ est semi-convergente si et seulement si elle est convergente et non absolument convergente.

Exemple

On suppose que $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$ sont absolument convergentes ($-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty$). Montrer que $\ds\int_{a}^{b}{(f(t)+g(t))\mathrm{d} t}$ est absolument convergente et comparer les réels : $$\ds\int_{a}^{b}{|f(t)+g(t)|\mathrm{d} t}$$ $$\ds\int_{a}^{b}{|f(t)|\mathrm{d} t}+\int_{a}^{b}{|g(t)|\mathrm{d} t}$$

Théorème : Inégalité triangulaire ou lien convergence absolue et convergence

Soit $f$ continue sur $\left[a,b\right[$. Si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ est absolument convergente alors elle est convergente et on a : $$\ds\left|\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\right|\leqslant\int_{a}^{b}{|f(t)|\mathrm{d} t}$$

Théorème : Théorème de comparaison (2nde partie)

Si $f$ et $g$ sont continues sur $\left[a,b\right[$, si $g$ est positive au voisinage de $b$ et si $f(t)\underset{t\to b}{=}o(g(t))$ alors :

  • si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$ converge en $b$ alors l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ converge en $b$,
  • si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ diverge en $b$ alors l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$ diverge en $b$.

Exemples

  1. Convergence de $\ds\int_{0}^{+\infty}|P(t)|\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d} t$ où $P$ est une fonction polynôme.
  2. Intégrales de Bertrand. Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels.
    1. Montrer que l'intégrale $\ds\int_{\mathrm{e}}^{+\infty}{\frac{\mathrm{d} t}{t^{\alpha}[\ln(t)]^{\beta}}}$ converge si et seulement si $\alpha>1$ ou bien $\alpha=1$ et $\beta>1$.
    2. En déduire la nature de $\ds\int_{0}^{1/\mathrm{e}}{\frac{\mathrm{d} t}{t^{\alpha}|\ln(t)|^{\beta}}}$ en fonction de $\alpha$ et $\beta$.
  3. Prouver que l'intégrale $\ds\int_{1}^{+\infty}{\frac{\sin(t)}{t^{2}}\mathrm{d} t}$ converge.
  4. Prouver que l'intégrale $\ds\int_{0}^{+\infty}{\frac{\sin(t)}{t}\mathrm{d} t}$ est semi-convergente.
    Indication : On pourra effectuer une intégration par parties pour établir la convergence.
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