Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:somme_lois_usuelles_densite [2014/11/28 00:04] – Alain Guichet
+++ math:2:somme_lois_usuelles_densite [2015/11/30 10:36] – Alain Guichet
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-^ **[[:math:2:index#chapitre_12|Couples densité > ]]** | [[:math:2:couples|Couples]] | [[:math:2:somme_variables_densite|Somme]] | [[:math:2:somme_lois_usuelles_densite|Somme lois usuelles]] | [[:math:2:esperance_variance_couples|Espérance/variance]] |
+^ **[[:math:2:index#couples_variables_densite|Couples densité > ]]** | [[:math:2:couples|Couples]] | [[:math:2:somme_variables_densite|Somme]] | [[:math:2:somme_lois_usuelles_densite|Somme lois usuelles]] | [[:math:2:esperance_variance_couples|Espérance/variance]] |
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-\begin{exs}
+__**Exemples**__
-. {}
+  -
+    - Soit $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi $\mathcal{U}([0,1])$. On pose $Y=X_{1}+X_{2}$.
+      - Montrer que $Y$ est une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité $g$.
+      - Préciser sa répartition $G$.
+    - Soit $X_{3}$ une variable aléatoire de loi $\mathcal{U}([0,1])$ indépendante de $Y$. On pose $Z=Y+X_{3}$.
+      - Montrer que $Z$ est une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité $h$.
+      - Préciser sa répartition $H$.
+    - Déterminer la loi de $2X_{1}+X_{2}-1$.
+  - Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $X\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)$ et $Y\hookrightarrow\mathcal{E}(\mu)$ où $\lambda>0$ et $\mu>0$.
+    - Déterminer une densité de $X+Y$.
+    - Déterminer une densité de $X-Y$.
-(a) Soit X_{1}
-  et X_{2}
-  deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi \mathcal{U}([0,1])
- . On pose Y=X_{1}+X_{2}
- .Montrer que Y
-  est une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité g
- . Préciser sa répartition G
- .
-(b) Soit X_{3}
+<html><a name="somme_independante_lois_usuelles_densite"></a></html>
-  une variable aléatoire de loi \mathcal{U}([0,1])
+<box red round 100% | **Théorème : [[:math:2:demo:somme_independante_lois_usuelles_densite|Théorème de stabilité par somme]]**>
-  indépendante de Y
- . On pose Z=Y+X_{3}
- .Montrer que Z
-  est une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité h
- . Préciser sa répartition H
- .
-(c) Déterminer la loi de 2X_{1}+X_{2}-1
+Soit $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires __indépendantes__.
- .
-. Soit X
+  * Soit $\nu_1$ et $\nu_2$ deux réels tels que : $\nu_1>0$ et $\nu_2>0$.\\ Si $X_{1}\hookrightarrow\gamma(\nu_{1})$ et $X_{2}\hookrightarrow\gamma(\nu_{2})$ alors :\\ $$\ds X_{1}+X_{2}\hookrightarrow\gamma(\nu_{1}+\nu_{2})$$
-  et Y
+  * Soit $m_1$, $m_2$, $\sigma_1$ et $\sigma_2$ quatre réels tels que : $\sigma_1>0$ et $\sigma_2>0$.\\ Si $X_{1}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{1},\sigma_{1}^{2})$ et $X_{2}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{2},\sigma_{2}^{2})$ alors :\\ $$\ds X_{1}+X_{2}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{1}+m_{1},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})$$
-  deux variables aléatoires indépendantes telles que X\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)
-  et Y\hookrightarrow\mathcal{E}(\mu)
-  où \lambda>0
-  et \mu>0
- .Déterminer une densité de X+Y
-  puis de X-Y
- .
-\end{exs}
+</box>
-\begin{theo}[Théorème de stabilité par somme]
-Soit X_{1}
+__**Exemples**__
-  et X_{2}
-  deux variables aléatoires indépendantes.
-• Si X_{1}\hookrightarrow\gamma(\nu_{1})
+  - Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $X\hookrightarrow\mathcal{E}(1)$ et $Y\hookrightarrow\mathcal{E}(1)$. Quelle est la loi de $X+Y$ ?
-  et X_{2}\hookrightarrow\gamma(\nu_{2})
+  - Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $X\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)$ et $Y\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)$. Quelle est la loi de $X+Y$ ?
-  alors: X_{1}+X_{2}\hookrightarrow\gamma(\nu_{1}+\nu_{2})
+  - Pour $i\in\llbracket1,2\rrbracket$, $X_{i}$ est une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{N}(m_{i},\sigma_{i}^{2})$ où $\sigma_{i}>0$. On suppose que $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes. Quelle est la loi de $a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}$ où $(a_{1},a_{2})\in\R^{2}$ ?
- .
-• Si X_{1}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{1},\sigma_{1}^{2})
-  et X_{2}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{2},\sigma_{2}^{2})
-  alors: X_{1}+X_{2}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{1}+m_{1},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})
- .
-\end{theo}
+^ **[[:math:2:index#couples_variables_densite|Couples densité > ]]** | [[:math:2:couples|Couples]] | [[:math:2:somme_variables_densite|Somme]] | [[:math:2:somme_lois_usuelles_densite|Somme lois usuelles]] | [[:math:2:esperance_variance_couples|Espérance/variance]] |
-\begin{exs}
-. Soit X
-  et Y
-  deux variables aléatoires indépendantes telles que X\hookrightarrow\mathcal{E}(1)
-  et Y\hookrightarrow\mathcal{E}(1)
- . Quelle est la loi de X+Y
- ?
-. Soit X
-  et Y
-  deux variables aléatoires indépendantes telles que X\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)
-  et Y\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)
- . Quelle est la loi de X+Y
- ?
-. Pour i\in\llbracket1,2\rrbracket
- , X_{i}
-  est une variable aléatoire suivant la loi \mathcal{N}(m_{i},\sigma_{i}^{2})
-  où \sigma_{i}>0
- . On suppose que X_{1}
-  et X_{2}
-  sont indépendantes. Quelle est la loi de a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}
-  où (a_{1},a_{2})\in\R^{2}
- ?
-\end{exs}
-^ **[[:math:2:index#chapitre_12|Couples densité > ]]** | [[:math:2:couples|Couples]] | [[:math:2:somme_variables_densite|Somme]] | [[:math:2:somme_lois_usuelles_densite|Somme lois usuelles]] | [[:math:2:esperance_variance_couples|Espérance/variance]] |