Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:serie_signe_qcq [2020/05/14 09:41] – Alain Guichet
+++ math:2:serie_signe_qcq [2020/05/14 14:21] – Alain Guichet
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 Soit $\ds\sum_{n\geqslant p}{u_{n}}$ une série à termes réels.
   * Si $\ds\sum{u_{n}}$ converge absolument alors elle peut s'écrire comme différence de deux séries positives convergentes (prendre $v_{n}=|u_{n}|+u_{n}$ et $w_{n}=|u_{n}|$ par exemple) et alors la série $\ds\sum{u_{n}}$ converge.
-  * Si la série $\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{n}}$ converge absolument alors, pour toute bijection $\varphi:\N\to\N$, la série $\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{\varphi(n)}}$ converge absolument et on a :\\ $$\ds\sum_{n=0}^{+\infty}{u_{\varphi(n)}}=\sum_{n=0}^{+\infty}{u_{n}}$$autrement dit, dans le cas d'une série absolument convergente, on peut changer l'ordre des termes pour le calcul de la somme de la série.
+  * Si la série $\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{n}}$ converge absolument alors, pour toute bijection $\varphi:\N\to\N$, la série $\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{\varphi(n)}}$ converge absolument et on a :\\ $$\ds\sum_{n=0}^{+\infty}{u_{\varphi(n)}}=\sum_{n=0}^{+\infty}{u_{n}}$$ autrement dit, dans le cas d'une série absolument convergente, on peut changer l'ordre des termes pour le calcul de la somme de la série.
 </box>
+__**Remarque :**__
-<box 100% red round left | **Théorème : Théorème de comparaison (suite), admis**>
+Si la série $\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{n}}$ est semi-convergente de somme $S$ alors, pour tout $L\in\R$, on peut trouver une bijection $\varphi:\N\to\N$ telle que $\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{\varphi(n)}}$ est convergente de somme $L$ (on peut aussi obtenir "$L=+\infty$" et "$L=-\infty$")
+<box 100% red round left | <html><a name="th_compa_o"></a></html>**Théorème : [[.:demo:th_compa_o|Théorème de comparaison (suite)]]**>
 Soit $(u_{n})_{n\geqslant0}$ une suite à __termes de signe quelconque__ et $(v_{n})_{n\geqslant0}$ une suite à __termes positifs__ telles que : $u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o(v_{n})$.\\ Si la série $\ds\sum_{n\geqslant p}{v_{n}}$ converge alors la série $\ds\sum_{n\geqslant p}{u_{n}}$ converge absolument.